函数的奇偶性第一课时一

1．10函数的奇偶性第一课时一、素质教育目标(一)知识教学点1．函数的奇偶性概念．2．函数奇偶性的判定．(二)能力训练点1．培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力．2．加强化归转化能力的训练．(三)德育渗透点1．通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力．2．教学中注意渗透常用的数学思想方法如数形结合、数值法、实验法等，培养学生辩证思维、求异思维等能力．二、教学的重点、难点、疑点及解决办法1．教学的重点和难点：函数奇偶性的判定．2．教学的疑点：判定函数的奇偶性，必须先考察其定义域是否关于原点对称，同时判定函数的奇偶性必须严格从定义出发，不能主观想象臆断．如判断函其为偶函数，而忽视f(x)的定义域-1≤x＜1，不关于原点对称，因此f(x)不是奇函数也不是偶函数．3．解决办法：注意概念的引入要浅显易懂，认清说透奇偶性定义的判定作用和奇偶性的性质．并适当介绍一些判断函数奇偶性的方法．三、课时安排本课题安排2课时．四、教学过程设计教师出示两道题并让学生回答：(1)已知f(X)=3x，求f(-X)；(2)已知g(x)=x2，求g(-x)．生：f(-x)=-3x．g(-x)=x2．师：大家分别观察以上两题，说出f(x)、f(-x)和g(x)、g(-x)之间有何关系？生：f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)．师：请一学生用文字简洁地描述一下上述两式的含义．生：f(-x)=f(x)表明f(x)中自变量取相反数时，函数值不变，g(-x)=-g(x)表明g(x)中自变量取相反数时，函数值为原函数值的相反数．师：-x、x在几何上有何关系？生：x，-x对应点关于原点对称．师：这就是说，f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)是对函数定义域内任一个x(不是某些x)而言，由此对函数的研究就可以从自变量取正值时函数的变化情况推断出函数在整个定义域内的变化情况，具有这一特性的函数在数学中大量存在，有必要对这类函数作深入的讨论(由此引入课题，并在黑板的左上角板书)．函数的奇偶性．首先让学生打开代数课本P．54，师生一起阅读函数的奇偶性的定义．即对于f(x)：1．如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．根据定义，f(x)=x，g(x)=x2分别是什么函数．生：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．师：下面通过一些练习来熟悉函数的奇偶性定义．例1判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2；(让四位学生在黑板上板书，其余学生作练习．)生：(1)∵f(-x)=(-x)3=-x3即f(-X)=-f(x)，所以f(x)=x3是奇函数．(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2即f(-x)=f(x)，所以f(x)=2x4+3x2是偶函数．(4)f(-x)=-x+1，-x+1≠-f(x)，而且-x+1≠f(x)．所以f(x)=x+1既不是奇函数，也不是偶函数．师：初学函数的奇偶性应注意，书写格式要规范，过程不可随意删减，上述的描述是完整的．对于(4)当f(x)不是奇函数也不是偶函数时，不能作如下的叙述．(1)∵f(-x)≠(x)≠f(x)，∴f(x)不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠f(x)，∴f(x)不是奇偶函数．对函数的奇偶性概念有了初步了解之后，现在来深人研究一下函数奇偶性定义．我们知道数学的定义具有两面性．即它不仅可以作为判定的依据，同时它还具有性质定理的作用，刚才解决例1就是利用定义的判定作用，下面大家探讨一下函数具有奇偶性时它有哪些性质呢？注意到函数奇偶性定义中“对于函数定义域内任意一个x”中“任意”的含义，并组合-x，x的几何意义，可以得到这时函数的定义域应具有什么特性？生：奇函数或偶函数的定义域关于原点对称．师：反之若函数的定义域关于原点对称，能否判定函数是奇函数或偶函数呢？生：不行．比如y=2x+1，它的定义域x∈R关于原点对称，但显然f(-x)≠f(x)，f(-x)≠f(x)它不是奇函数，也不是偶函数．师：对！一般地说，判定函数的奇偶性要考虑两点，一是定义域，二是f(=x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立，初学时往往比较注意第二点而忽视定义域，如f(x)=x2，x∈R是偶函数，而改变定义域为x∈R+，f(x)=x2是否还是偶函数呢？为什么？生：因为对于函数f(x)=x2，x∈R+，f(1)=1，但-1不在定义域内，f(-1)不存在，谈不上f(-1)=f(1)，即并不是对于函数定义域内所有x的值，都有f(-x)=-f(x)成立，所以f(x)=x2(x∈R+)不是偶函数，显然也不是奇函数．师：讲得好．下面大家再来判断下列函数的奇偶性．例2判断下列函数的奇偶性：生：它是偶函数．师：为什么？生：因为对于定义域R内任意一个x，都有f(x)=f(x)．师：大家还有什么不同的看法吗？生：它还是奇函数．师：为什么？生：因为对于任意x∈R，都有f(-x)=0，-f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)还是奇函数．师：对！f(x)既是奇函数又是偶函数，那么还能不能举出既是奇函数又是偶函数的例子呢？生甲：有！x=0就是．生乙：不对！x=0不满足函数的定义．即一个x值x=0对应着无穷多个y值，y∈R，因此x=0不是函数．师：言之有理，至于如何找这样的函数我们还应从函数的奇偶性定义出发．生：如果f(x)在定义域M内既是奇函数又是偶函数，必须对M内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，即应有-f(x)=f(x)，即f(x)=0，从此看出既是奇函数又是偶函数的函数只有f(x)=0．师：以上回答基本正确，但美中不足的是忽略了函数的定义域x∈M，随着定义域不同函数也不同，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，不过它们的表达式都是(或可化为)f(x)=0的形式，所不同的只是它们的定义域．对于(2)请一位同学说出你的判断．生乙：f(x)既不是奇函数也不是偶函数．师：为什么？生：∵f(-1)=0，但f(1)不存在，事实上，这个函数的定义域不关于师：对！如果一个函数解析式比较复杂，且未指出其定义域，那么在判断函数的奇偶性，应先确定函数的定义域，再决定是否需要将解析式化简，并用函数奇偶性定义加以判断，以免导致错误．课堂练习P．57．总结：这一节课主要学习函数奇偶性的概念以及奇偶性的判定方法．判定函数的奇偶性时务必要注意先判定它的定义域是否关于原点对称，初学者最容易忽略这一点．当定义域关于原点对称时，若函数式较简单，可通过计算f(-x)后运用定义判断；若函数式较为复杂，则应设法恒等变形将其化简为易知其奇偶性的形式来判断．五、作业代数(上)P．57中2、3；P．59中8、9、12．六、板书设计第二课时一、素质教育目标(一)知识教学点1．函数奇偶性的性质定理．2．函数奇偶性的应用．(二)能力训练点1．培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力．2．加强化归转化能力的训练．(三)德育渗透点1．通过定理的证明培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力．2．教学中培养学生理论联系实际和数学应用能力．二、教学的重点、难点、疑点及解决办法1．教学的重点和难点：函数奇偶性的性质定理的证明和应用．2．教学的疑点：奇函数或偶函数的图象关于原点对称或关于y轴对称，反之不对．奇函数、偶函数的性质定理本质是通过局部的函数性质(如自变量取正值)来推断它在整个定义域内的图象和性质．这一点对于初学者往往会认识不够．3．解决办法：熟悉函数奇偶性的定义，注意贯穿数形结合的方法．三、课时安排本课题是函数奇偶性的第2课时．四、教学过程设计作出它们的示意图．(让两位学生上台作图，其余学生在练习本上练习．)师：观察它们的图象，说明它们具有怎样的对称性．于y轴对称．师：能否具体说明一下在坐标平面内关于原点(关于中心对称)和关于y轴(轴对称)的含义．生：坐标平面内任意一点p(x，y)关于原点的对称点p'(-x，-y)．即点p，点p'关于原点成中心对称．p(x，y)关于y轴的对称点的坐标p''(-x，y)．即1°'，p''关于y轴成轴对称．师：下面我们一起来严格证明一下我们上述观察得到的结果，即奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图象．首先我们先来证明：奇函数的图象关于原点成中心对称图形．若在f(x)的图象上任取一点p(a，f(a))，那么点1°关于原点的对称点是什么？生：p'(-a，-f(a))．师：利用奇函数的条件f(-x)=-f(x)，点p'(-a，-f(a))还可以写成另一种形式吗？生：可以．由于-f(a)=f(-a)，所以p'还可以写为p'(-a，f(-a))．师：点p'(-a，f(-a))与f(x)的图象的位置关系如何？生：点p'(-a，f(-a))恰是f(x)的图象上的点．师：这就是说，函数f(x)图象上任意一点(x，y)关于原点的对称点(-x，-y)都在f(x)的图象上．在这个定理的证明过程中．我们通过点的对称性推证得图象的对称性．证明这一定理，大家考虑一下这一定理的作用是什么？(让大家思考、讨论、并请一位同学回答，其他同学补充)．生：这个定理告诉我们对于奇函数的研究，可由取正值时(或取负值时)的图象和性质，来推断它在整个定义域内的图象和性质．师：很好，对于数学定理的学习，不仅要弄懂它的含义、证明，而且还应清楚它的作用或应用是什么？用同样的方法可以证明偶函数的图象关于y轴成轴对称．这一证明请同学们课后作为作业证明一下．例1已知函数f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图1-40所示，请画出f(x)在y轴左边的图象．请一位学生上台合作示意图，其他学生在练习本上作图．师：针对某些同学作图时比较随意的情况，强调作图时应注意几点．(1)在y轴右边的图象上取几个点，如A1、A2、A3、A4、A5(这些点一般应该包括图象曲线的最低、最高点等“关键”点)如图1－41．(2)画出这些点关于y轴的对称点．如点A1、A2、A3、A4、A5的对称点分别为A1'、A2'、A3'、A4'、A5'，如图1－42．(3)用一条平滑曲线把对称点连结起来，例如用平滑曲线连结点A1'、A2'、A3'、A4'、A5'后，就得到f(x)在y轴左边的图象．例2设f(x)为奇函数，且x＜0时，f(x)=x2+3．求当x＞0时，f(x)的表达式．师：解题要从图1－43和定理两方面去分析、解答．(让学生思考若干时间，师生边议、边叙、边写．)设x＞0，则-x＜0．∵f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3]=-x2-3，即当x＞0时f(x)=-x2-3．解答此时要注意几个问题：(i)求哪一个区域上的表达式，就应在这一区域上求自变量x(如＞0，则-x＜0)．(ii)利用f(x)=-f(-x)求得表达式f(x)即为所求，因为这时x已设x＞0．初学者往往会从已知函数表达式的区域x＜0上去取自变量x，这会给解答带来许多麻烦，应当回避这种做法．例3已知函数f(x)是偶函数，且在(∞，0)上是增函数，f(x)在(0，+∞)上是增函数还是减函数？(让学生思考讨论若干时间)．生：减函数．师：为什么呢？生：因为根据偶函数的图象关于y轴对称，通过作图可以知道这时在(0，+∞)是减函数．师：(在黑板上画出示意图1-44)．能否根据函数单调性的定义加以证明呢？(让学生思考、讨论片刻，教师可作适当的引导．)生：设x2＞x1＞0，则-x1＜-x2＜0．∵f(x)为偶函数，∴f(-x1)=f(x1)．f(-x2)=f(x2)且f(-x1)＜f(-x2)．∴f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1)＞0．∴f(x2)＞f(x1)即在(0，＋∞)上．f(x)为减函数．师：正确，通过这一问题的解答可以看出对于函数的奇偶性和单调性要从“形”和“数”两方面去把握它，方能深入理解它．(1)证明它是偶函数；(2)求证f(x)＞0．(让学生思考若干时间，师生边议边叙边