2015年高考数学专题六：圆锥曲线(学生版)自己总结含12-14高考题

12015年高考数学专题六：圆锥曲线(学生版）一、知识梳理：第一部分：椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数212FFa的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹）。2．标准方程：222cab①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；②一般形式表示：221xymn或者),0,0(122nmnmnymx二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222byax（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆12222bxay（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做2椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作e（10e），22221()beaac奎屯王新敞新疆e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（edPF||）①焦点在x轴上：12222byax（a＞b＞0）准线方程：cax2②焦点在y轴上：12222bxay（a＞b＞0）准线方程：cay25．椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质（1）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：caMFca（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221bSFMF其中21MFF7直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点0003联立012222CByAxbyax消y得：222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaACaxxBbCaACxaxBbAa联立012222CByAxbyax消x得：222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa(2)弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆),0,0(12222nmnmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是AB的中点，则：0022yxmnkAB(3)弦长公式：]4)[(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第二部分：双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。xyP1F2FxyxyP1F2Fxy4范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)重要结论（1）焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：MFca（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2cot2tan2221bbSFMF准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22渐近线方程xabyyabx共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）xyP1F2FxyPxyP1F2FxyP5直线和双曲线的位置（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000012222CByAxbyax联立消y得：222222222122222212222222222202BbAaBbCaxxBbAaACaxxBbCaACxaxBbAa联立012222CByAxbyax消x得：222222222122222212222222222202BbAaAaCbyyBbAaBCbyyAaCbBCybyBbAa(4)弦中点问题:斜率为k的直线l与双曲线)0,0(12222nmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是AB的中点，则：0022yxmnkAB弦长公式：]4)[(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；（2）其标准方程为Cyx22其中C≠0；（3）离心率2e；（4）渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数2a第三部分：抛物线知识点总结6图象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MFM=点M到直线l的距离}范围0,xyR0,xyR,0xRy,0xRy对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦准距p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yypxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF7焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy(以焦点在x轴正半轴为例)以AB为直径的圆必与准线l相切,以MN为直径的圆与AB相切与点F，即FNMFcos12cos1221ppxBFppxAF若AB的倾斜角为，则)(2sin2221通径pppxxAB2124pxx212yypapSpBFAFAOBsin22112参数方程)(222为参数tptyptx1.直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p①联立方程法：ox22,BxyFy11,AxyMN8pxybkxy220)(2222bxpkbxk设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点),(00yxM,2210xxx，2210yyy②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得1212pxy2222pxy将两式相减，可得)(2))((212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时，212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）二、典型例题第一部分：椭圆考点一、椭圆的定义及标准方程91.(2014·三明模拟)设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30B．25C．24D．402．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2,3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1D.x216＋y24＝13．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1考点二：椭圆的几何性质[典例](2013·福建高考)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13]B．[13，12]C．(13，1)D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合