2015年高考数学总复习教案：9.7椭圆(2)

第九章平面解析几何第7课时椭圆(2)对应学生用书（文）128～131页（理）133～136页考情分析考点新知根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.②掌握椭圆的简单应用.1.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．答案：x236＋y29＝1解析：e＝32，2a＝12，a＝6，b＝3，则所求椭圆方程为x236＋y29＝1.2.已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.答案：3解析：依题意，有|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|·|PF2|＝18，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.3.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且BF→＝2FD→，则C的离心率为________．答案：33解析：(解法1)如图，|BF|＝b2＋c2＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由BF→＝2FD→，得|OF||DD1|＝|BF||BD|＝23，所以|DD1|＝32|OF|＝32c，即xD＝3c2，由椭圆的第二定义得|FD|＝ea2c－3c2＝a－3c22a.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－3c2a，即e＝33.(解法2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b，b＞0)，设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，xF＝0＋2x21＋2x2＝32xF＝32c；yF＝b＋2y21＋2y2＝3yF－b2＝3·0－b2＝－b2，代入94·c2a2＋14·b2b2＝1e＝33.4.F1，F2是椭圆x24＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则PF1→·PF2→的最大值是________．答案：1解析：设P(x，y)，依题意得F1(－3，0)，F2(3，0)，PF1→·PF2→＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝34x2－2.∵0≤x2≤4，∴－2≤34x2－2≤1.∴PF1→·PF2→的最大值是1.5.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝________．答案：4解析：由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|Þcos60°＝（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|Þ12＝22＋2|PF1||PF2|－（22）22|PF1||PF2|，即|PF1|·|PF2|＝4.1.椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．2.椭圆的焦半径(1)对于焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ex；|PF2|＝a－ex．(2)对于焦点在y轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|＝a＋ey；|PF2|＝a－ey.题型1求综合情况下椭圆的基本量例1如图，F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，点M在x轴上，且OM→＝32OF2→，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，AF1→·AF2→＝0.(1)求椭圆的离心率；(2)若△ABF1的周长为46，求椭圆的方程．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M32c，0，x0＝32c.∵|AF1|x0＋a2c＝e，∴|AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0.∵AF1→·AF2→＝0，∴AF1⊥AF2，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2,即a2＋e2x20＝2c2.∵x0＝32c，∴a2＋e2·34c2＝2c2,∴1＋34e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，∴e2＝23或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝63.(2)∵△ABF2的周长为46，∴4a＝46，∴a＝6.又ca＝63，∴c＝2,∴b2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.备选变式（教师专享）已知椭圆的右焦点F()m，0，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．(1)若离心率为22，求椭圆的方程；(2)当AF→·FB→7时，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)由已知，得c＝m，a2c＝m＋1，从而a2＝m(m＋1)，b2＝m.由e＝22，得b＝c，从而m＝1.故a＝2，b＝1，得所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)易得A(－m－1，－m－1)，B(m＋1，m＋1)，从而AF→＝(2m＋1，m＋1)，FB→＝(1，m＋1)，故AF→·FB→＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋27，得0m1.由此离心率e＝ca＝mm（m＋1）＝11＋1m，故所求的离心率取值范围为0，22.题型2与椭圆第二定义有关的问题例2设A、B分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：∠NAP为锐角．(1)解：依题意，得a＝2c，a2c＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)证明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，设N(x0，y0)，∵N点在椭圆上，∴y20＝34(4－x20)．又N点异于顶点A、B，∴－2x02，y0≠0.由P、B、N三点共线可得P4，2y0x0－2，从而AN→＝(x0＋2，y0)，AP→＝6，2y0x0－2，则AN→·AP→＝6x0＋12＋2y20x0－2＝6x0＋12－32(2＋x0)＝92(x0＋2)．∵x0＋20，y0≠0，∴AN→·AP→0，于是∠NAP为锐角．备选变式（教师专享）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为23，点M的横坐标为92.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围．解：(1)由已知，得ca＝23，a2c＝92，解得a＝3，c＝2，∴a2＝9，b2＝5.∴椭圆C的标准方程为x29＋y25＝1.(2)设点P(x1，y1)(－2x13)，点M92，y2.∵点F、P、M三点共线，x1≠－2，∴y1x1＋2＝y2132，y2＝13y12（x1＋2），∴点M92，13y12（x1＋2）.∵k1＝y1x1－3，k2＝13y13（x1＋2），∴k1·k2＝y1x1－3×13y13（x1＋2）＝13y213（x1＋2）（x1－3）.∵点P在椭圆C上，∴x219＋y215＝1，∴y21＝－59(x21－9)．∴k1·k2＝13×－59（x21－9）3（x1＋2）（x1－3）＝－6527×x1＋3x1＋2＝－6527×1＋1x1＋2.∵－2x13，∴k1·k2－269.∴k1·k2的取值范围是－∞，－269.题型3椭圆的综合问题例3已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t0)在直线x＝a2c(a为长半轴，c为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．(1)解：由点M在准线上，得a2c＝2，故1＋c2c＝2，∴c＝1，从而a＝2，所以椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋y－t22＝t24＋1，其圆心为1，t2，半径r＝t24＋1，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝r2－1＝t2，所以|3－2t－5|5＝t2，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(3)证明：设N(x0，y0)，则FN→＝(x0－1，y0)，OM→＝(2，t)，MN→＝(x0－2，y0－t)，ON→＝(x0，y0)．∵FN→⊥OM→，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.∵MN→⊥ON→，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴x20＋y20＝2x0＋ty0＝2，∴|ON→|＝x20＋y20＝2为定值．变式训练已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝c24(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点1，423、332，1，求椭圆C的方程；(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求OP→·OE→的值(O是坐标原点)；(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．(1)解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝1a2，n＝1b2，得m＋329n＝1，274m＋n＝1.所以m＝19，n＝14，即椭圆方程为x29＋y24＝1.(2)证明：直线AB：x－a＋yb＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为x02，y02，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为x－x022＋y－y022＝x20＋y204，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝c24作差，即直线MN：x0x＋y0y＝c24.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得x0－a＋y0b＝1，所以x0x＋bay＋by－c24＝0，即x＋bay＝0，by－c24＝0，得x＝－c24a，y＝c24b，故定点E－c24a，c24b，OP→·OE→＝x0，bax0＋b·－c24a，c24b＝c24.(3)解：由直线AB与圆G：x2＋y2＝c24(c是椭圆的焦半距)相离，则aba2＋b2＞c2，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－5①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以aba2＋b2≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以3－52≤e2＜1②.由①②得3－52≤e2＜3－5，所以5－12≤e＜10－22.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．学生错解：解：(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当5－m0，m－20，解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，