高考第一轮复习讲义--数列定义,等差数列(学生)

1高考第一轮复习讲义—数列定义，等差数列数列：数学研究的基本对象是数，按一定顺序排列起来的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。各项相等的数列叫做常数列。()nafn，这个公式叫做这个数列的通项公式。研究数列na时，如果任一一项na与它的前一项1na（或n项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。数列na的前n项和为nS，之间的关系式为：11,1,2nnnanaSSn已知数列1,0,1,0,1,，那么下列选项中，不能做它的通项公式的是（）A.11+12nB.2sin2C.1cos2nD.11+1(1)(2)2nnn若1142()()93nnna，则数列na（）A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项C.既有最大项又有最小项C.既无最大项也无最小项2已知1562nnan*Nn，则数列na的最大项是（）A．第12项B.第13项C.第11项或第13项D.不存在已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为______数列na满足*,5221...2121221Nnnaaann，则na.设数列na的前n项和为nS，22|2016|nSnan=+-（0a），则使得1nnaa（n*N）恒成立的a的最大值为.在数列na中，Nnnann11101.（1）求证：数列na先递增，后递减.（2）求数列na的最大项na332412nnSn3如果数列na的通项公式是na=*111.....()12nNnnnn，(1)判断数列的增减(2)若对于一切大于1的自然数n，不等式12log(1)123naaa恒成立求a的取值范围？等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示。1nnaad（递推式）累加法1(1)naand（通项公式）)(1nfaann)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解通项公式若数列na满足：*111,21()nnaaannN,则na_____若数列na满足：*111,2()nnnaaannN,则na___4等差数列的性质1.*(,,,,)mnpqaaaamnpqmnpqN2.()mnaamnd是否存在02x,使得sin,cos,tan,cotxxxx为等差数列?数列na是公差不为0的等差数列，11a，且3a是19,aa的等比中项，则数列na的通项公式若,,abc依次成等差数列（公差不为零），,,cab又依次成等比数列，则::abc若四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18.求此四数。5已知数列na为等差数列，,mnanam，求mna的值如果128,,aaa为各项都大于零的等差数列，公差0d，则（）A.1845aaaaB.1845aaaaC.1845aaaaD.1845aaaa已知等差数列na的首项1125a，从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围为_______6在公差为d,各项都为正整数的等差数列na，若11949,2009naa，则nd的最小值为___________两个等差数列200,203,206,和50,54,58,都有100项，它们共同项的个数有多少个？等差数列的前n项和12312112()nnnnnnnnSaaaaSaaaaSaan（倒叙相加法）11()(1)22nnnaannSnad设122xfx，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求：87ff…0f…89ff的值7化简01231234....(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC由大于0的自然数构成的等差数列{}na共有项，这n项之和为70，其中最大项为26，这个数列为等差数列的前n和的求和公式：2111()(1)()2222nnnaannddSnadnan(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)等差数列前n项和nS的图像性质8已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，①若0d，nS有最小值，若10,0kkaa，则kS最小，若0ka则1,kkSS最小；②若0d，nS有最大值，若10,0kkaa，则kS最大，若0ka则1,kkSS最大。nS最值的求法：①若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；②若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。③利用图像求最值已知等差数列{}na中，39||||aa，公差0d，则使前n项之和nS取得最大值的自然数n的值是等差数列前n项和满足,下列结论正确的是()A．是中最大值B．是中最小值C．=0D．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并求出最大值的取值范围。{}na4020SS30SnS30SnS30S060S9已知}{na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列}{na前n项和的最大值．nS为等差数列前n项和，pqSS，则求pqS等差数列的前n项和的性质递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn性质1：设等差数列na的前n项和公式和为nS，公差为d，*.Nnm则①dmnmSnSmN21②mndSSSSnmnmSnmnmnm证明：10性质2：设等差数列na的前n项和公式和为nS，*..Nknm若knm..成等差数列，则kSnSmSknm,,成等差数列证明：11性质3：设等差数列na的前n项和公式和为nS，*....Nnmqp若nmqp，则qpSSnmSSqpnm证明：性质4：设等差数列na的前n项和公式和为kS①当*2Nkkn时，12kkkaakS，S奇S偶kd，1nnSaSa奇偶②当*12Nkkn时，121212kkakS，S偶S奇kaa中，1SnSn奇偶（上12下两处末的n为k）；证明：性质5：设等差数列na的前n项和公式和为nS，则232,,,knknknknknSSSSS成等差数列，公差为2()knd（d为na的公差）证明：等差数列na的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为13设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=设等差数列的前n项的和为nS，且1284S，20460S，则28S=__________设nS是等差数列na的前n项和，若250S，260S，则数列25121225,,,SSSaaa的最大项是第________项.已知函数22812fxxaxaa,且2428fafa,设等差数列na的前n项和为nS,*nN若nSfn,则41nnSaa的最小值为（）A．276B．358C．143D．37814若{}na是等差数列，首项10a，100710080aa，100710080aa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是（）A.2012B.2013C.2014D.2015等差数列{}na前n项和nnSm，前m项和mmSn，则mnS的值满足（mn）（）A.4mnSB.4mnSC.4mnSD.24mnS判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列④前n项和公式法：15),(2为常数BABnAnSnna是等差数列若数列na前n项和为nS，且满足：21),2(0211anSSannn，（1）求证：数列nS1为等差数列；（2）求数列na的通项公式实数0a，函数axxaxf12)1()(2有最小值1（1）求a的值；（2）设函数na的前n项和)(nfSn，令*242,Nnnaaabnn，证明：nb是等差数列。与等差数列相关的题型：1.已知数列na，nb为等差数列，它们的前n项和分别为nS，nT则2121nnnnTbSa证明：162.数列na为等差数列，nS为数列na的前n项和，nnba，nT为为数列nb的前n项和,2,nnnmSnmTSSnm（前正后负，1ma为变号项）,2,nnnmSnmTSSnm（前负后正，1ma为变号项）证明：3.数列na为等差数列，11()nnknnnkbaaaakd，nT为为数列nb的前n项和，11()nnknnnkbaaaakd列项相消nT证明：17例：12(21)(21)nnnna，1nankn，!nann，1lognanan已知等差数列}{na满足：120,2ad，数列nb的每一项都满足：nnba.试分别求数列}{na前n项和nS以及数列nb前n项和nT.数列na中：nnnaaaSNnna21*),(6100，则nS等差数列}{na的前n项和为nS，343,10aS，则nkkS11.na、nb都是等差数列，前n项和分别为,nnST，若231nnSnTn，则nnab=______18已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为：nnBA和，且3457nnBAnn，则使得nnba为整数的正整数n的个数为正项数列na的前n项和nS满足：0)()1(222nnSnnSnn（1）求数列na的通项公式na；（2）令22)2(1nnannb，数列nb的前n项和为nT，证明：对于任意的*Nn，都有645nT设数列,,,,21naaa中的每一项都不为0，证明：na为等差数列的充分必要条件是：对任何Nn，都有1113221111nnnaanaaaaaa设各项均为正数的数列的前n项和为nS，已知3122aaa，数列nS是公差为d的等差数列。（1）求数列na的通项公式；19（2）设c为实数，对满足nmknm且3的任意正整数knm,,不等式knmcSSS都成立，求证：c的最大值为29