自适应天线-第二章2.2

12.2阿普尔鲍姆阵考虑到如图2.26所示的N元自适应阵,具有解析信号和复加权.通常,信号矢量为:2.2.1最佳准则阿普尔鲍姆阵是基于使阵输出端的需要信号与不需要信号(干扰和噪音)之比最大的概念.下面将首先给出阿普尔鲍姆阵的推导,然后讨论阿普尔鲍姆阵与LMS阵的关系.()ixtiw12[(),(),,()]TNXxtxtxt(2.199)图2.26N元自适应阵将信号矢量分为需要信号,干扰和热噪音信号项:dinXXXX(2.200)2阵的输出也可按同样方式分为:()()()()TdinstWXststst(2.201)因此,阵输出端的需要信号功率,干扰功率和热噪音功率分别为:222111[()],[()],[()]222ddiinnPEstPEstPEst(2.202)-(2.204)定义阵输出端的总的不需要功率为:uPuinPPP(2.205)采用最佳准则来调整加权,以使下面的量最大:dduinPPSINRPPP(2.206)首先假设阵接收的需要信号是“窄带”的,则需要信号矢量可写为:ddXaU(2.207)3()exp[(())]ddddaAtjtt其中a表征需要信号的幅度和时间依赖关系的比例因子.而矢量则包含阵元间的相移和阵元方向图.dU式中,为幅度调制,为相位调制.()dAt()dt(2.212)122()()exp()...()exp()ddddNddNffjUfj(2.213)而为空间相位差因子.若第i个阵元方向图为,则:dU()if式中为阵元1与阵元i之间的相位移.di为了在矢量中分离出阵元间的相移,窄带的假设是必要的.对一个到达的信号,两阵元间的相对相移为频率的函数.若需要信号是宽带的,则对该宽带内的不同频率,阵元间的相移将不同.窄带假设意味着在整个带宽内实质上为常数.dUdidi4阵输出的需要信号为:()TTdddstWXaWU(2.214)因此,输出的需要信号功率为:22211[()][]22TdddPEstEaWU(2.215)现在来看不需要的输出信号功率.假设信号矢量和是统计独立的零均值随机过程,则:uP,diXXnX***()()()()TTTTddiinnEXXEXXEXXEXXdin注意可以写为:du(2.216)(2.217)而式中:uin(2.218)对于给定的加权矢量,阵输出端的不需要信号为:()ust()()()()()TTuinininstststWXXXXW(2.219)W5因此,不需要的输出功率为:2**11[()][()()]22TTTuinininPEWXXEWXXXXW(2.220)**1[()()]2TTiinnWEXXEXXW1()2inWW12uWW因而,阿普尔鲍姆阵要寻求最大的量为:22221[]2[]12TTddduuuEaWUWUPSINREaP(2.221)------Applebaum准则62.2.2最佳加权矢量研究阿普尔鲍姆阵的第一步就是要证明式(2.221)的比值最大的加权矢量为:1*udWU(2.222)式中为任意比例常数.证明:首先对加权矢量进行坐标旋转,令:WAV(2.223)因为,故可以得到:()AVVA12uuPVAAV(2.224)选择A使得,uAAI可以得到:1()uAA又因为,代入式(2.224)中:*[()()]TuininEXXXX式中A为矩阵,为元素是的列矢量.NN1NivV(2.230)7*1[()()]2TuininPVAEXXXXAV*1{[()][()]}2TTTTTininEVAXXVAXX*1{[()][()]}2TTTininEVYYVYY(2.231)式中,TTiinnYAXYAX因此,变换可以视为将实际接收的信号和变换成新信号和.如图2.27所示.TAiXnXiYnY图2.27变换TA因而,阵的输出信号可用矢量对和加权得到.变换与加权矢量结合等效于中原来的加权矢量ViYnYTAVWAVW8又因为:*[()()]TuininAAEYYYYI(2.234)所以变换使总的不需要信号矢量的各分量之间互不相关.TAinYY经同样变换之后得到需要信号矢量为:TTddddYAXaAUaZ(2.235)式中:TddZAU因此,阵的输出需要信号为:()TTdddstVYaVZ(2.237)而输出的需要信号功率为:22211[()][]22TdddPEstEaVZ(2.238)因而可以得到:22[]TdduVZPSINREaPVV(2.239)(2.236)9现在将要证明当按下式选取时,式(2.239)可以获得最大比值:*optdVVZ(2.240)式中为任意常数.为此,利用许瓦兹不等式:2222111NNNTdidiididdiiiVZvzvzVVZZ(2.241)式中和分别为和的分量.将不等式代入式(2.239)得到:ivdizVdZ22[][]ddddduPVVZZSINREaEaZZPVV(2.242)然而,若,则由式(2.239)可得:*dVZ22222*()[][]()dddddTuddPZZSINREaEaZZPZZ(2.243)所以,对于式(2.240)所示的值,SINR能够达到最大容许值.VV10此时,变换后采用的加权矢量等效于由下式给出的加权矢量:TAoptV*optoptdWWAVAZ(2.244)将代入式中,并利用式就可以得到:TddZAU1()uAA*1*optdudWAAUU(2.245)这就是式(2.222)所要求的结果.dZ112.2.3阿普尔鲍姆阵反馈环根据式(2.222)所表示的最佳加权矢量,阿普尔鲍姆阵利用如图2.28所示的反馈环作为自适应环来产生阵的加权矢量.optW图2.28阿普尔鲍姆阵图中,G为增益常数,为低通滤波器的时间常数,而s表示频率.变量为的第j个元素.*dju*dU12为了证明图2.28的环路能够产生正确的稳态阵加权,需先确定对该环路的的微分方程.如图2.28所示的那样,令低通滤波器的输出用表示.则满足方程:optWjwjm*()()jjjdmmxtstdt(2.246)因为与有下列关系:jwjm*[]jdjjwGum(2.247)所以有:/jdjjmuwG(2.248)1/jjwdmdtGdt(2.249)将上面两式代入式(2.246)中,便得到关于的微分方程:jw**()()jjdjidwwuxtstGdtG(2.250)将该微分方程写成矢量形式:**()ddWWUXstGdtG(2.251)jm13最后,代入并进行整理得到:()TstXW**1[]TddWIXXWUGdtG(2.252)假设加权矢量的响应速度比起伏的速度低几个数量级,则有下列近似:*TXX**()TTXXEXX(2.253)所以加权的微分方程变为:*1[]ddWIWUGdtG(2.254)因此,这个环所对应的稳态加权矢量为:1*1[]dWIUG(2.255)若环增益足够大,上式可近似为:1*dWU(2.256)14注意到这个加权矢量涉及的是,而不是式(2.222)中的.这个差别是不重要的,原因有以下两点:ⅰ.可以证明,与等效,二者只差一个标量常数,所以两者将给出同样的SINR.1*dUⅱ.作为一个实际因素,阿普尔鲍姆阵的主要兴趣在于脉冲雷达系统的应用.在脉冲雷达系统中,需要信号存在的时间只占总时间的很小的一部分,因而它对的贡献可以忽略.例如,若雷达的工作比为0.001,则需要信号脉冲的存在时间仅占总是的0.1%.通常,阵的信号仅由干扰和噪音组成.这时,.u11u1*udU152.2.4变型的阿普尔鲍姆环若在图2.28的环路结构中作一点小的变动,便可消去1/G项.实际上,若用图2.29的环代替图2.28的环,便有:图2.29阿普尔鲍姆环的另一种形式16**[()()]idjjdwkuxtstdt(2.258)相应的矢量形式为:**[()]ddWkUXstdt(2.259)代入,并加以整理得到:()TstXW**TddWkXXWkUdt(2.260)或利用近似式得到:**()TTXXEXX*ddWkWkUdt(2.261)此环产生的稳态加权矢量为:1*dWU(2.262)它并不需要G必须是足够大的限制条件.172.2.5操纵矢量假设在图2.29中所示的环路中用矢量代替,则阵加权满足的微分方程为:*T*dU*dWkWkTdt(2.271)则稳态的加权矢量为:1*WT(2.272)假设没有信号入射到阵上.信号中仅含有热噪音,上式中简化为:()ixt2I(2.273)此时,由式(2.272)所表示的稳态加权矢量为:*2/WT(2.274)所以在没有信号到来时,加权矢量与仅差一个标量因子.当没有信号入射到阵上时,称阵处于静止状态.此时,阵的方向图由决定,并将此方向图称为阵的静态方向图.显然,可以选择来得到需要的阵的静态方向图.*T*T*T182.2.6LMS阵和阿普尔鲍姆阵的关系LMS阵和阿普尔鲍姆阵的关系很简单.阿普尔鲍姆阵的加权满足式(2.271):*dWkWkTdt(2.275)LMS阵的加权满足式(2.86):(2.276)若,则两个阵的性能将完全一样.由于和只差一个标量因子,基于最小均方误差信号的LMS阵的稳态加权同样也产生最大SINR.*TS1*dUdWkWkSdt1*udU19ⅱ.LMS阵:不需要任何关于需要信号到达角的先验知识;只需要一个与需要信号相关的参考信号;适用于通信系统中.LMS阵和阿普尔鲍姆阵的差别主要体现在应用方面:ⅰ.阿普尔鲍姆阵:不需要知道信号的波形;适用于雷达系统中.需要预先知道需要信号的到达角;