圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)

1圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有02020kbyax。（2）)0,0(12222babyax与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有02020kbyax（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|||PFPF1323的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题2直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛3物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。MNQO4（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，||PQ102，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0的交点，且圆心在直线l：2410xy上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求5最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。典型例题P为椭圆22221xyab上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则||||ABkxxAB12·||12ak△·，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段AB的长。②结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB是经过F1的弦，若||AB8，求值||||22BFAF③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点A（3，2）为定点，点F是抛物线yx24的焦点，点P在抛物线y24x上移动，若||||PAPF取得最小值，求点P的坐标。6圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan,[0,)k②点到直线的距离0022AxByCdAB③夹角公式：2121tan1kkkk（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：2121ABkxx221212(1)[()4]kxxxx或12211AByyk（4）两条直线的位置关系①1212llkk=-1②212121//bbkkll且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且距离式方程：2222()()2xcyxcya参数方程：cos,sinxayb(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)xymnmn距离式方程：2222|()()|2xcyxcya(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？22222bbpaa椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？7如：已知21FF、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点M满足221MFMF则动点M的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：122tan2FPFPb在椭圆上时，S122cot2FPFPb在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos,||||cos||||PFPFcFPFPFPFPFPFPFPF）(6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。（2）0||xexa双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在y轴上时为(7)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？椭圆：b2+c2=a2双曲线：a2+b2=c2第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2,)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx3421212121yyyyxxxxABk=ba4382、联立消元法：求弦长：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式。两交点问题：设曲线上的两点1122(,),(,)AxyBxy，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆805422yx上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为090，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为090可得出AB⊥AC，从而得016)(14212121yyyyxx，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B（1x,1y）,C(2x,2y),BC中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx两式作差有016))((20))((21212121yyyyxxxx04500kyx(1)F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30x，由03421yy得20y，代入（1）得56k直线BC的方程为02856yx2)由AB⊥AC得016)(14212121yyyyxx（2）设直线BC方程为8054,22yxbkxy代入，得080510)54(222bbkxxk2215410kkbxx，222154805kbxx92222122154804,548kkbyykkyy代入（2）式得0541632922kbb，解得)(4舍b或94b直线过定点（0，)94，设D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy所以所求点D的轨迹方程是)4()920()916(222yyx。3、设而不求法例2、如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、