9-2 二重积分的计算(1)

如果积分区域D为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy设被积函数在积分区域D上连续.0),(的情形首先考虑被积函数yxf为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD上述两个积分公式右边的积分都称为二次积分,或者累次积分.X型区域的特点：对任意常数h,直线x=h与区域边界的交点不多于两个(除x=a,x=b外).Y型区域的特点：对任意常数h,直线y=h与区域边界的交点不多于两个(除y=c,y=d外).若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式321DDDD则必须分割.如果积分区域既是X型区域又是Y型区域，那么可选择便于计算的一种积分顺序.。xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图1121xyxyO例2计算，其中D是由x轴、y轴及抛物线y=1-x2所围成的在第一象限内的区域.Ddxdyyx223解如图，D可表示为：10,102xxy所以21022102233xDdyyxdxdxdyyx31516)1(][11032210322dxxxdxyxxDx11yx1xyODy注意：上述区域D也是y型区域，可表示为：10,10yyx所以有：1023210221022)1(33dyyydxyxdydxdyyxyD但此后的计算比较复杂.因此，当用某种顺序计算二重积分比较麻烦时，可考虑改变积分顺序.例3计算，其中D是有抛物线y=x2及直线y=x-2所围成的区域Dxydxdyxy2yx2yx-12D解如图D既是X型区域又是Y型区域，可以表示为：2,212yxyy8452212Dyyxydxdyxydxdy如果先对y积分，计算要复杂一些.例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(,求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,令110)()(xdyyfxfdxI,解则原式ydxyfxfdy010)()(,)()(010ydxxfdyyfxyo改变积分次序.故110)()(2xdyyfdxxfIydxxfdyyf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf110)()(xdyyfdxxfxdyyfdxxf010)()(一、填空题:1、Ddyyxx)3(323___.其中.10,10:yxD2、Ddyxx)cos(_______________.其中D是顶点分别为)0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域.3、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由x轴及半圆周)0(222yryx所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.练习题4、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域,化为先对x后对y的二次积分,应为__________________________.5、将二次积分22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序,应为_________________________.6、将二次积分xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序,应为_________________________.7、将二次积分2ln1),(2yedxyxfdy2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序,应为__________________________.二、画出积分区域,并计算下列二重积分:1、Dyxde,其中D是由1yx所确定的闭区域.2、Ddxyx)(22其中D是由直线xyxyy2,2及所围成的闭区域.3、xDdyyxxydxdyxf020))(2(cos),(。4、,2Ddxdyxy其中D:20,11yx.三、设平面薄片所占的闭区域D由直线,2yxxy和x轴所围成,它的面密度22),(yxyx,求该薄片的质量.四、求由曲面222yxz及2226yxz,所围成的立体的体积.一、1、1；2、23；3、220),(xrrrdyyxfdx；4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5、211210),(yydxyxfdy；6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案二、1、1ee；2、613；3、；4、235.三、34.四、6.作业：P144:1(8)，5