9-2 二重积分的计算方法

1利用直角坐标系计算二重积分小结利用极坐标系计算二重积分doubleintegral二重积分的换元法﹡第二节二重积分的计算法第九章重积分2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法一、利用直角坐标系计算二重积分3(1)积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaDX－型],[ba在区间上连续.二重积分的计算法xOyxOy)(1xy)(2xyDba4的值等于)0),((d),(yxfyxfD计算截面面积),(yxfz(红色部分即A(x0))＊二重积分的计算法以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间)](),([0201xx为曲边的曲边梯形.),(0yxfz为底,曲线xyzO),(yxfzD)(2xy)(0xA)(xy1ab0x5是区间为底,)](),([0201xx曲线为曲边的曲边梯形.),(0yxfz)(01x],[baxyyxfxAxxd),()()()(21有:DyxfVd),(baxxAd)(＊xbad二重积分的计算法)d),(()()(21xxyyxf)(02xyyxfxAd),()(00称为先对y后对x的二次积分(累次积分)Dyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(dxyzO),(yxfzD)(2xya0xb)(0xA)(xy16(2)积分区域为：,dyc)()(21yxyD)(2yxcd)(1yxY－型Dyxfd),(先对x后对y的二次积分也即dcyyxyxfy)()(21d),(dDyxfd),(二重积分的计算法其中函数、)(1y)(2y],[dc在区间上连续.xOyxOyD)(2yxcd)(1yxdcyd)d),((xyxf)(1y)(2y7特殊地Dbadcyyxfxyxfd),(dd),(注D为矩形域:则a≤x≤b,c≤y≤d二重积分的计算法badcxyxfydd),(8穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:,bxa)()(21xyx,dyc)()(21yxyX型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.二重积分的计算法xyO9(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.D(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.321DDD二重积分的计算法xyO3D2D1D10xyO例解Dyxyxdd)(2xxxxxxd)](21)([42102.14033积分域既是X型又是Y型22xyyxyyxd)(210dx法一)0,0(),1,1(所围平面闭区域.和是抛物线其中求22,dd)(xyDyxyxD2yx两曲线的交点2xx二重积分的计算法2xy2yx)1,1(11先对x后对y的积分Dyxyxdd)(21403310dy法二xyxd)(22yy二重积分的计算法Dyxyxdd)(2xyO2xy2yx)1,1(12例yyxxdsind1012siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,xy)1,1(可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:,10x1yx,10yyx0二重积分的计算法13yyxxdsind1012yxyyd)(sin0102yyydsin1022102dsin21yy)1cos1(21xyydsin0210dyoxyxy)1,1(,10:yDyx0二重积分的计算法14例交换积分次序：解积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式=10dyy2xyxfd),(211y二重积分的计算法22xxyxy2xyO1215交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法181990年研究生考题,填空,3分)(dd2202yexxy)1(214exyxoy22解yexxydd2202xeyyydd0202yyeyd202)(d212202yey)1(214e二重积分的计算法交换积分次序200d2yxeyy19又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:,dsinxxx,d2xex,lndxx等等,一定要放在后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex,dxexy二重积分的计算法20例求证axaxxfxayyfx000d)()(d)(d左边的累次积分中,积分域可表为提示xayyfx00d)(dayaxyfyd)(d0ayyfya0d)()(axxfxa0d)()(定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,)(yf是y的抽象函数,)0(a,0axxy0,0ayaxyaayyxyf0d)(证毕.先交换积分次序.二重积分的计算法axyOa),(aa22二重积分的计算法2002年研究生考题,7分计算二重积分,dd},max{22Dyxyxe其中}.10,10),({yxyxDxyO解112D1D设},,10),({1xyxDxy0},,10),({2xyxD1yxDyxyxedd},max{22122dd},max{Dyxyxe222dd},max{Dyxyxe12ddDxyxe22ddDyyxexxyex010dd2yyxey010dd2.1exxyex010)dd2(2或23解121d)(xeexxee2183xeyxeyIyyxyyxydddd121212141计算积分xexyd不能用初等函数表示,先交换积分次序.yexydx2xxdI211二重积分的计算法112141xy2xy21Oxy二、利用极坐标系计算二重积分:ii24iiiiiiii)2(21iiiii2)(iii两相邻弧半径平均值.i内取圆周上一点其直角坐标,,ii),(iiiii2)(21ii221则设为二重积分的计算法OADiiii),(ii25得iiinif),(lim10即Dyxfd),(Dyxyxfdd),(也即dd极坐标系中的面积元素,cosiiiiiiiDfdd)sin,cos(Dfdd)sin,cos(nif1(,cosiiiii)sinii0lim二重积分的计算法iiisin26)(1)(2Dfdd)sin,cos((1)积分区域D:,)()(21θAO)(1)(2Dd)(1d)sin,cos(f)(2二重积分的计算法OADθ27D)(0d)sin,cos(df(2)积分区域D(曲边扇形):,)(0Dfdd)sin,cos(AOAO二重积分的计算法D)()(28Dfdd)sin,cos()(020d)sin,cos(df极坐标系下区域的面积Ddd(3)积分区域D:,20)(0DoA)(注一般,在极坐标系下计算:θ积分再对先对二重积分的计算法29解sincosyxDyxyxfdd),(d)sin,cos(df例写出积分的极坐标二次积分Dyxyxfdd),(其中积分区域形式,}10,11),{(2xxyxyxD在极坐标系下圆方程为1直线方程为sincos11cossin102二重积分的计算法yxO11122yx1yxD30解yxeDyxdd22ae020dd2)1(2aea例计算,dd22yxeDyx其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下:D,20a0二重积分的计算法xOy31R2解}0,0,|),{(2221yxRyxyxD}0,0,2|),{(2222yxRyxyxD}0,0|),{(RyRxyxS022yxeSyxyxedd22222ddDyxyxe求反常积分.d02xex例显然有21DSD二重积分的计算法122ddDyxyxeR1DS2DyxO32Rxxe0d220)d(2Rxxe)1(2ReyxeDyxdd22)1(2ae222:ayxD又yxeISyxdd22yxeIDyxdd1221yxeIDyxdd2222)1(422Re4Ryye0d2二重积分的计算法}0,0,|),{(2221yxRyxyxD}0,0,2|),{(2222yxRyxyxD对称性质}0,0|),{(RyRxyxS33,41I42I,4I21III)1(4)d()1(4222220RRxRexee概率积分夹逼定理,时当R,时故当R即4)d(202Rxxe所求反常积分2d02xex),1(421ReI)1(4222ReI,)d(202RxxeI二重积分的计算法3403yx解3261sin4sin2yxyxDdd)(22dd2)32(1503xy计算,dd)(22yxyxD为由圆其中D所围成的平面闭区域.例yyxyyx4,22222及直线,03yx03xysin4sin263二重积分的计算法xOyyyx222yyx42235解)(2)(222222yxayx222ayx双纽线求曲线)0()(2)(222222ayxayx222ayx和所围成的图形的面积.例根据对称性有14DD在极坐标系下1Da2cos2a二重积分的计算法xyO由aa2cos2得交点)6,(aAyxdd)33(2aDyxdd2cos20dd46aa41D面积A36将直角坐标系下累次积分:22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为极坐标系下的累次积分.oxy解2120d)sin,cos(df原式=2r21r1二重积分的计算法371