必修1 第二章 基本初等函数基本题型分类

1必修1第二章基本初等函数（Ⅰ）基本题型分类题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算（一）化简求值：1．化简44332121)()(．1．解：22122121214433)()()()(．2．化简32642422312．2．解：12222642441222232612122223122232)()()()(．3．化简2121212121212bababababa．3．解：022121221212121212121212121babababababababa)(．（二）含附加条件的幂的求值4．已知51aa，求下列各式的值．(1)22aa；(2)2121aa；4．解：(1)由51aa两边平方得：252212aaaa，即2322aa．(2)3252122121aaaa)(，∴32121aa．题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义5．(1)下列以x为自变量的函数，其中为指数函数的是（）A.(5)xyB.(2.71828)xyeeC.5xyD.2xy(2)如果函数2(33)xaaa是指数函数，则有（）A.12aa或B.1aC.2aD.01aa且5．解：(1)B；(2)C；由指数函数的三大特征：①xa的系数为1；②底数,0a且1a的常数；③指数位置上仅有自变量x．【规律总结】①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③指数函数的指数仅有自变量x．6．函数xaaxfa)(log)()(121是对数函数，则实数a．6．解：01112aaa解得：1a．【规律总结】判断一个函数是否为对数函数的方法：2判断一个函数是对数函数必须是形如,(log0axya且)1a的形式，即必须满足以下条件：7．函数3221mmxmmxf)()(是幂函数，且当),(0x时，)(xf是增函数，则)(xf的解析式为．7．解：因为函数3221mmxmmxf)()(是幂函数，所以031122mmmm解得：2m；3xxf)(．【规律总结】由幂函数的特征：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1．题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象8．(1)函数33(0,1)xyaaa且的图象过定点．8．解：(1)令03x，3x，4y，所以函数33(0,1)xyaaa且的图象过定点),(43．【归纳总结】：函数mayxf)(恒过定点问题，令0)(xf解出x，则定点为),(mx1．(2)如图是指数函数(1)xya，(2)xyb，(3)xyc，(4)xyd的图象，则,,,abcd与1的大小关系为（）A.1abcdB.1badcC.1abcdD.1abdc(2)令1x，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B．9．(1)函数,()(log021axya且)1a的图象恒过点．(2)如图所示的曲线是对数函数xyalog，xyblog，xyclog，xydlog图象，则dcba,,,与1的大小关系为．9．解：(1)令11x，0x，所以函数,()(log021axya且)1a的图象恒过点),(20【规律总结】对数函数恒过定点问题(1)求函数,)((log0axfmya且)1a的图象过的定点时，只需令1)(xf求出x，即得定点为),(mx．(2)令1y，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：01cdab．10．如图所示，曲线是幂函数nxy在第一象限内的图象，已知n分别取22111,,,四个值，相应于曲线4321CCCC,,,13的n依次为（）A,21211,,,B.12112,,,C.12121,,,D.21112,,,10．解：由幂函数的性质得：答案：D．题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质(一)比较大小(1)已知809070218080....,.,.cba，则cba,,的大小关系是（）(A)cba(B)cab(C)abc(D)bac(1)解：D【规律总结】：1.底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；2.底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可．3.底数不同，指数也不同：采用中间量法．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较ca与db的大小，可取da或cb为中间量，ca与da利用函数的单调性比较大小，db与da利用函数的图象比较大小．(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b(2)解：B【规律总结】：1.若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；2.若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；3.若底数不同，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；4.若底数和真数均不相同，则常借助1,0等中间值进行比较．(3)设525352525253)(,)(,)(cba，则cba,,的大小关系是（）A.bcaB.cbaC.bacD.acb(3)解：A【规律总结】：1.若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；2.若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；3.若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如要比较ca与db的大小，可取da或cb为中间量，ca与da利用函数的单调性比较大小，db与da利用函数的图象比较大小．(二)求函数值域或最值11．求函数12141xxy)()(在],[23上的值域．11．解：12121121412xxxxy)()()()(设xt)(21，∵84123tx],[，4∴4321122)()(ttttgy，所以函数)(tgy在],[2141t上单调递减，在],[821t上单调递增，∴当21t时，43miny；当8t时，57432182)(maxy；所以函数12141xxy)()(在],[23上的值域为],[5743．【规律总结】求形如：函数],[,nmxcbsasyxx2的值域．使用“换元法”设xst，从而原函数cbsasyxx2变为关于t的一元二次函数cbtattgy2)(；由],[nmx，求出xst的值域],[qp，即t的范围为],[qp，进而转化为求一元二次函数cbtattgy2)(在],[qpt上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．12．求函数32221xxy)(的值域．12．解：函数32221xxy)(的定义域为R；设4413222)(xxxt，所以),[,)(421tyt，所以160y，所求函数32221xxy)(的值域为],(160．【规律总结】求形如函数)(xfay的值域．使用“换元法”设)(xft，求出)(xft的值域],[nm，从而转化为tatgy)(在],[nmt的值域（使用指数函数的单调性）．13．已知x满足不等式37250250xx..log)(log，求函数)(log)(log)(4222xxxf的最值．13．解：由37250250xx..log)(log得01235050)log)((log..xx，则21350x.log，即2150503505050.loglog.log.,.x，∴82x；又))(log(log)(log)(log)(21422222xxxxxf23222xxlog)(log令xt2log，∵82x，∴321t，则],[,)(321232tttthy，∴4123)(minhy，23)(maxhy．【规律总结】求形如：],[nmx时，函数),(log)(log102sscxbxayss的值域．使用“换元法”设xtslog，由],[nmx，求出xtslog值域],[qp，即t的范围为],[qp，进而转化为求一元二次函数cbtattgy2)(在],[qpt上的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．514．求函数),[),(log22222xxxy的值域．14．解：设112222)(xxxt，∵),[2x，从而2t，∴),[,log)(22tttgy，∴12)(gy，所以函数),[),(log22222xxxy的值域为),[1．【规律总结】求形如函数],[),(lognmxxfya的值域．使用“换元法”设)(xft，求出],[),(nmxxft的值域],[qp，从而转化为求函数],[,log)(qptttgya的值域．此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想．（三）解不等式15．(1).已知2520x.，求实数x的取值范围．(1).解：∵22205125.)(，∴2202520..x，∴2x；所以实数x的取值范围是),(2．(2).求不等式01472aaaxx(，且)1a中x的取值范围．(2).解：①若1a，则1472xx，∴3x；②若10a，则1472xx，∴3x；综上，当1a时，不等式01472aaaxx(，且)1a中x的取值范围为),(3；当10a时，不等式01472aaaxx(，且)1a中x的取值范围为),(3．【规律总结】1．形如)()(xgxfaa的不等式，借助于指数函数),(10aaayx的单调性求解；如果a的值不确定，需分1a与10a两种情况讨论；2．形如bax的不等式，注意将b转化为以a底的指数幂的形式，再借助指数函数),(10aaayx的单调性求解．16．解下列不等式(1).)1log2log3131xx（．(1)解：)1log2log3131xx（∴120102xxxx解得：1x所以不等式)1log2log3131xx（的解集为),(1(2).)1log2logxxaa（(a＞0，a≠1)．(2).解：)1log2logxxaa（∴①若1a，则120102xxxx解得：x；6②若10a，则120102xxxx解得：1x；综上，当1a时，不等式)1log2logxxaa（的解集为；当10a时，不等式)1log2logxxaa（的解集为),(1．【规律总结】1.形如bxaaloglog的不等式，可借助指数函数的单调性求解，若底数a的值不确定，则需对其分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．2.形如bxalog的不等式，要首先将b化为以a为底数的对数形式，再进行求解．3.形如xxbaloglog的形式，可借助对数函数的图象求解．题型五：复合函数的单调性判断及应用17．判断函数)(log)(xxxf222的单调性，并指出它的单调区间．17．解：令022xx，得0x或2x∴函数)(log)(xxxf222的定义域为0xx|{或}2x，设),(,221xx，且21xx，)()(log)(log)(l