对应分析

对应分析（CorrespondenceAnalysis）对应分析是1970年法国巴黎科学院统计研究室的Bezecri教授首先提出的，1977年引入国内。对应分析是在因子分析的基础上发展起来的一种新的因子分析方法。因子分析R—型研究指标Q—型研究样品特征值方法找出代表性指标，进行地质成因解释找出代表性样品，进行地质作用解释因子分析的优点1、降维，即化多为少，以少代多；2、浓缩，即把多个指标的分散信息集中到少数几个主因子上；3、分割，即把具有复杂相关关系的指标分割成各个不同特征的独立类型。因子分析的缺点1、割裂即把R—型与Q—型截然分开，割断了指标与样品间的联系，损失了一些指标的信息；2、局限即对Q—型因子分析，当N很大时，求逆、求特征值都很困难，通常只做R—型因子分析，使对指标与样品的研究不是处于等同的位置；3、不对等即对指标可以进行标准化处理，对样品则不能，指标和样品不是对等的，对样品的研究带来困难。不对等是因子分析的一条致命缺点，因为因子分析的模型是在标准化以后导出来的。对应分析对应分析将R—型因子分析和Q—型因子分析联系在一起，由R—型因子分析的结果导出Q—型因子分析的结果。对应分析的目的在于给出两个集合的主轴，把样品和指标投影到由某两个主轴所决定的同一因子平面上，同时研究指标和样品的相互关系，即在同一因子平面所反映的信息：（1）靠近的一些指标点密切相关，说明他们具有成因上的联系，指示，某一特定的地质作用或过程；（2）靠近的一些样品点具有相似的性质，是同一地质过程的产物或者说他们属同一类型；（3）同类型的样品点将由它们邻近的指标点所表征，这就有助于对样品类型的解释，并通过样品在空间的分布可以了解地质过程的空间关系。目的对应分析的特点：1、统一性：同时对样品和指标进行因子分析，得出统一的解，反映在同一平面图内，直观地解释指标和样品，便于进行成因解释分析；2、互推性：对应分析可以从R—型因子分析的结果导出Q—型因子分析的结果，使我们只须从,ijppRr出发，推出Q—型相应的结果，克服了由于iknnQCOS阶数高，计算量大，研究Q—型因子分析的的困难；3、对等性：经过一种数据变换，使样品和指标都处于对等地位。推导过程111,1nijppnxxXxxx1111njjnpjpjXXXX.111piiXX.221piiXX。。。.1pNiNiXX指标样品假设有N个样品，每个样品测了P个指标11pnijiiTX（P×N）个元素ijx的总和1PT1111nppnppXpp1.11.1njJnppjJPPPP..1niiijjxPPT..1pjjijixPPT（i=1,2,…,pj=1,2,…,N）1、R—型情况在PR维空间中，将用其坐标：第j个样品12...,,,jjpjjjjppppppj=1,2,…,N每个样品点的坐标是各个指标在该样品中的相对比例，经过变换后，对N个样品的研究就变成了对N个样品点相对关系的研究，对任意二个样品的相关程度，普通的欧氏距离：211..,PiiiPPDPP由于指标之间的数量的不同，而我们关心的是指标的相对作用，采用加权的距离公式2211.......1,PPiiiiiiiiiPPPPDPPpPPPP为了继续引用普通的欧氏距离，只须把每个样品点看作具有如下坐标的向量（第j个样品）12..1..2....:,,...,ijjjpjijjjpjPPPPPPPPPPPP（i=1,2,…,pj=1,2,..,N）此时，可以直接计算两两样品之间的距离，以进行分类。但这样做没有达到降维的目的，如果进行因子分析，就需计算样品点的方差—协方差矩阵。然后求方差—协方差矩阵的特征值及相应的特征向量即可得到主因子。样品点中第i个指标的平均值：...11....1nnijiijijijjjiiippPppppppp这样第i个指标与第j个指标的协方差为：...1....njiijijijppappppppp....1....njiijijpppppppppp......1....njiijijpppppppppppp....1....njiijijpppppppppp....1....njjiiijpppppppppp令：............./iiiiiiiiiixxxpppxxxTTTTzppxxxxTTiz对样品和指标都是对等的,.p—对指标求和，.ip—对样品求和。则：1nijijaZZ1nppijijPNNPCaZZZZ从CZZ出发进行R—型因子分析2、Q—型情况在NR空间中，将用具有坐标：12....1..2..:,,...,ijiiiNijiiiNpppppppppppp的P个点表示P个指标，任意两样品K、L之间的协方差为：NNKLBb...1....pikilKLikliikilppbppppppp....1....pikilikiliikilpppppppppp....1....pikilikiliikilpppppppppp....1....pikikililiikilpppppppppp1pikiliZZ即：NNNPPNBZZA与B之间存在着简单的对应关系，即认为从Xij到Zij的变换对指标和样品是对等的R—型与Q—型的对应关系？3对偶定理定理：A与B的非零特征值相同（1）设12,,...,i是矩阵AZZ的非零特征值，则有特征向量12,,...,iuuu使得：iiiZZuu用Z去左乘上式的两边，得：iiiZZZUZUI=1,2,…,k即：i也是ZZ的特征值，其相应的特征向量是iZU。（2）如果是ZZ的重特征值，即存在个线性无关的向量12,,...,VVV，得：iiZZVVI=1,2,…,r则：12,,...,iZVZVZV也是线性无关的。（3）反之亦然，对于BZZ的特征值。特征向量与ZZ类似与（1）（2）的关系。结论：A与B的非零特征值是相同的，如果V是ZZ的特征向量，则ZV是ZZ的特征向量。由于特征值表示各个因子所提供的方差，即各个公因子所有公因子方差的贡献，那么，在空间PR中的第K个因子与在空间NR中的第K个因子（K=1,2,…,m）提供相同的方差。从几何的意义看，即pR中诸样品点与pR中各因子轴的距离和NR中诸指标点与NR中相对应的各因子轴的距离完全相同。正是由于这一点，我们可以用相同的因子轴去同时表示指标和样品，即把R—型和Q—型统一起来，把指标和样品同时反映在一个因子平面上。（1）靠近的一些指标点密切相关，说明他们具有成因上的联系，指示，某一特定的地质作用或过程；（2）靠近的一些样品点具有相似的性质，是同一地质过程的产物或者说他们属同一类型；（3）同类型的样品点将由它们邻近的指标点所表征，这就有助于对样品类型的解释，并通过样品在空间的分布可以了解地质过程的空间关系。五、计算步骤1、将x按行、列分别求和，即：2、计算Z矩阵，即：111212122212,,,nnpppnxxxxxxxxx11.122.1.1njinjinpjpixxxxxx1.12.2.111,,,pppiiinniiixxxxxx11pnijiiTX2、计算Z矩阵，即：3、因子分析（1）计算矩阵ZZ的特征值和特征向量（Jacobi）；12p12,,pUuuu（2）确定主因子；计算特征值的累计百分比，即：11/100%80%pk确定主因子数K（K=2，3）一般取K=2或3即可。PNijZZ式中：..../ijijijijxxxTZxx（3）计算因子载荷矩阵；（4）在两两因子轴平面上做指标点图。F111122121122221122,,,,,,,,,kkkkpppkkuuuuuuuuu1x2xpx1F2FKF对Q—型（1）对R—型的K个特征值12k计算其对应与矩阵BZZ的单位特征向量：1iiiqzu（i=1,2,…,k）；(2)求Q—型载荷矩阵；令：iiiiVqZu（i=1,2,…,k）则：（3）在与R—型相应的因子平面上作样品点图，并进行指标与样品的地质解释。1x2xpx111122121122221122,,,,,,,,,kkkknnnkkvvvvvvvvvG1G2GKGSPSS操作