高三一轮总复习理科数学新课标第9章-第4节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第四节变量间的相关性与统计案例考纲传真1.会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的思想、方法及其初步应用.4.了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.两个变量的线性相关(1)在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从到的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近，称两个变量具有线性相关关系，该直线叫做回归直线.左下角右上角左上角右下角一条直线菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的和最小的方法叫最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn).其回归方程为y^＝b^x＋a^，则其中(x，y)称为样本点的中心.距离的平方菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.残差分析(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为e^i＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…，n.e^i称为相应于点(xi，yi)的残差.(2)残差平方和为∑ni＝1(yi－y^i)2.(3)相关指数：R2＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为有关系YXy1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）则随机变量K2＝，其中n＝为样本容量.nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋da＋b＋c＋d菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段()(2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变化趋势()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验()(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越小()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由散点图和回归分析的意义，(1)、(2)正确，依据相关性检验与独立性检验知，(3)和(4)不正确.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.(人教A版教材习题改编)已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝()x0134y2.24.34.86.7A.3.25B.2.6C.2.2D.0【解析】∵回归直线必过样本点的中心(x－，y－)，又x－＝2，y－＝4.5，代入回归方程，得a＝2.6.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】根据正负相关性的定义作出判断.由正负相关性的定义知①④一定不正确.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4.(2014·临沂质检)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_______.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】∵k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【答案】5%菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.【解析】由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.【答案】0.254菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1相关关系的判断【例1】(2014·济南质检)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A.－1B.0C.12D.1【思路点拨】由于样本点(xi，yi)都在直线y＝12x＋1上，则yi＝y^i，代入相关系数公式求解.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即yi＝y^i，代入相关系数公式r＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y2＝1.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法.如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A.r2＜r1＜0B.0＜r2＜r1C.r2＜0＜r1D.r2＝r1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】对于变量Y与X，Y随着X的增大而增大，∴Y与X正相关，即r1＞0.对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，因此r2＜0＜r1.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2线性回归方程及其应用【例2】(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝110xi＝80，i＝110yi＝20，i＝110xiyi＝184，i＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.【思路点拨】(1)求x－，y－，代入求b^，a^；得回归直线方程.(2)根据回归方程作出判断与预测.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由题意知n＝10，x＝1ni＝1nxi＝8010＝8，y＝1ni＝1nyi＝2010＝2，又i＝1nx2i－nx2＝720－10×82＝80，i＝1nxiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此得b＝2480＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.30)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.正确运用计算b^、a^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键.回归直线必过样本点中心(x－，y－).2.最小二乘法估计的一般步骤：(1)作出散点图，判断是否线性相关；(2)如果是，则用公式求a^，b^，写出回归方程；(3)根据方程进行估计.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2014·郑州调研)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20042006200820102012需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝bx＋a；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2008－4－2024需求量－257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，b^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5，∴a^＝y－b^x＝3.2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝b^(x－2008)＋a^＝6.5(x－2008)＋3.2，即y^＝6.5(x－2008)＋260.2.①菜单高考体验·明考情课时作业