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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 高考数学:三角函数的图像和性质问题(解析版)
【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查,因为函数的性质是研究函数的一个重要内容,是学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想,把图象与性质结合起来,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景:一般三角函数类型解题模板:第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意参数,A的正负;第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数,且在同一单调区间;第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1函数cos(2)4yx的单调递增区间是()A.[kπ+8,kπ+85π]B.[kπ-83π,kπ+8]C.[2kπ+8,2kπ+85π]D.[2kπ-83π,2kπ+8](以上k∈Z)【答案】B.考点:三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将24x作为一个整体,利用余弦函数的图像将函数cos(2)4yx的单调递增区间转化为24x在区间2,2kk上递减的.【变式演练1】已知函数),0)(62sin()(xxf直线21,xxxx是)(xfy图像的任意两条对称轴,且21xx的最小值为2.求函数)(xf的单调增区间;【答案】Zkkk],6,3[.【解析】试题分析:根据两条对称轴之间的最小距离求周期,根据周期求,根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析:由题意得,T则1,()sin(2).6fxx由222,262kxk解得.,63Zkkxk故)(xf的单调增区间是Zkkk],6,3[.考点:1.xAysin的单调性;【变式演练2】已知函数sin()+(00)2fxAxBA,,的一系列对应值如下表:x635643116[来源:ZXXK]73176y2424(1)根据表格提供的数据求函数fx的解析式;(2)求函数fx的单调递增区间和对称中心;【答案】(1)3sin13fxx(2)522()66kkkZ,+1(3kkZ)(,).(2)当22()232kxkkZ,即52()266xkkkZ,时,函数fx单调递增.令=(3xkkZ),得=+(3xkkZ),所以函数fx的对称中心为+1(3kkZ)(,).考点:1.三角函数解析式及基本性质;2.数形结合法[来源:Z*xx*k.Com]类型二由sin()yAx的图象求其函数式使用情景:一般函数sin()yAx求其函数式解题模板:第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等;第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A中一个或两个或三个;第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置,并进一步地确定参数;第四步得出结论.例2已知函数sin()yAx),2,0)(sin(RxxAy的图象如图所示,则该函数的解析式是()(A))48sin(4xy(B))48sin(4xy(C))48sin(4xy(D))48sin(4xy【答案】D考点:xAysin的图像【点评】本题的解题步骤是:首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T,进而可得的大小;然后观察图像知其振幅A的大小;最后将图像与x轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数sinfxAx(其中0,0,2A)的部分图象如图所示,则fx的解析式为()A.2sin3fxxB.2sin26fxxC.2sin26fxxD.2sin46fxx【答案】B【解析】考点:由)sin(xAy的部分图像确定解析式。【变式演练4】函数sin()(0,0,||)2yAxA的图象如图所示,则y的表达式为()A.)61110sin(2xyB.)61110sin(2xyC.)62sin(2xyD.)62sin(2xy【答案】C【解析】试题分析:由图像可知最大值为2,所以A=2,周期22236T,代入点,26得sin136,所以函数式为)62sin(2xy考点:三角函数图像及性质【变式演练5】已知某三角函数的部分图象如图所示,则它的解析式可能是()A.sin()4yxB.3sin(2)4yxC.cos()4yxD.3cos(2)4yx【答案】C【解析】考点:三角函数解析式[来源:]【变式演练6】函数sin()(0,0,0)yAxA在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为()A.2sin()23xyB.2sin(2)3yxC.22sin(2)3yxD.2sin(2)3yx【答案】C【解析】试题分析:因)12125(2T,故2,借助图象可以看出2A,所以)2sin(2xy,将12x代入可得1)6sin(,故322622kk,应选C.考点:三角函数的图象和性质及运用.【变式演练7】如图所示,是函数sin()yAxk(0A,0,||2)的图象的一部分,则函数解析式是()A.2sin(2)16yxB.sin(2)13yxC.12sin()226yxD.sin(2)23yx【答案】A【解析】【方法点晴】本题主要考查函数sin()yAx的图象,属于中等题型,本题可以采用直接法(即按,,,Ak顺序求解),但计算量稍大,速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快,即先由3(1)22A排除B、D,由3(1)12k排除C,可得正确答案A.故解决此类题型的常用方法有:1、采用直接法(即按,,,Ak顺序求解).2、排除法(抓住部分特征进行排除).类型三求三角函数的周期使用情景:一般三角函数类型解题模板:第一步利用恒等变换将其化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式;第二步运用周期的计算公式2T直接计算可得所求.第三步得出结论.例3设)0(cossin)(xbxaxf的周期T,最大值4)12(f,(1)求、a、b的值;(2)的值终边不共线,求、、的两根,为方程、、若)tan(0)(xf。【答案】(1)2,3ab;(2)33.【点评】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法;在解题时不要忘记三角函数的周期性.【变式演练8】设函数)sin()(xxf,0,0A,若)(xf在区间]2,6[上单调,且6322fff,则)(xf的最小正周期为()A.2B.2πC.4πD.π【答案】D【解析】试题解析:)sin()(xxf在区间]2,6[上单调,0,22126-2T,即30,又6322fff,1272322x为)sin()(xxf的一条对称轴,且3262,则)0,3(为)sin()(xxf的一个对称中心,由于30,所以127x与)0,3(为同一周期里相邻的对称轴和对称中心,则)3127(4T.选D.考点:三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断的范围,根据函数值相等可判断函数图象的对称轴,根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心,有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.【变式演练9】函数cos(2)sin(2)36yxx的最小正周期__________.【答案】【解析】考点:1、三角函数的图象与性质;2、三角恒等变换.【变式演练10】已知函数1()2sin()cos62fxxx(其中0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)将函数()yfx的图象向左平移6个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()gx的图象.求函数()gx在[],上零点.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)6和6.【解析】试题分析:(Ⅰ)首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式,然后根据周期求得的值;(Ⅱ)首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得()gx的解析式,然后利用正弦函数的图象与性质求得函数的零点.试题解析:(Ⅰ)211()2sin()cos3sincoscos622fxxxxxx31sin2cos2sin(2)226xxx.由最小正周期22T,得.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)6fxx,将函数()fx的图象向左平移6个单位,得到图象的解析式()sin[2()]sin(2)666hxxx,将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到()sin()6gxx.[来源:ZXXK]由6xkkZ,,得6xk,故当[]x,时,函数()gx的零点为6和6.12分考点:1、两角差的正弦函数;2、倍角公式;3、三角函数图象的平移伸缩变换;4、正弦函数的图象与性质.【变式演练11】已知函数1)cos(sincos2)(xxxxf.(1)求函数)(xf的最小正周期和单调增区间;(2)ABC中,锐角A满足1)(Af,2b,3c,求a的值.【答案】(1))(xf的最小正周期为;单调增区间为)](83,8[Zkkk;(2)5a.【解析】试题分析:(1)由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得()2sin(2)4fxx,由22T可求该函数的最小正周期,由)(224222Zkkxk可求函数的单调递增区间;(2)由()1fA先求出角4A,再利用正弦定理即可求a.(2)由题意知1)42sin(2)(AAf,22)42sin(A,又A为锐角,∴442A,∴4A,由余弦定理得54cos322922a,∴5a.考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图象与性质;3.余弦定理.【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理,属中档题;利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦,角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键,熟练掌握公式是解题的基础.【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24fxx+x,为()fx的零点,4x为()yfx图像的对称轴,且()fx在51836,单调,则的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B考点:三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①sin0,0fxAxA的单调区间长度是半个周期;②若sin0,0fxAxA的图像关于直线0xx对称,则
本文标题:高考数学:三角函数的图像和性质问题(解析版)
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