三、数列求和专项练习高考题(含知识点)

1数列的前n项和的求法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2nnn，222112(1)(21)6nnnn，33332(1)123[]2nnn.例1、已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n212.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.例3、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.例4、求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432……………………….②（设制错位）2①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例5、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤11(1)!!(1)!nnnn；⑥2122(1)2(1)11nnnnnnnnn.例6、求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例7、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和3)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8、求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn7、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例9、求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前n项和nS=（A）1nn（B）1nn（C）12nn(D)12nn【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}na中，452,5aa，则数列{lg}na的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C44.【2014·北京卷（理5）】设{}na是公比为q的等比数列，则1q是{}na为递增数列的（）.A充分且不必要条件.B必要且不充分条件.C充分必要条件.D既不充分也不必要条件【答案】D5.【2014·天津卷（文5）】设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成等比数列，则1a=（）（A）2（B）-2（C）12（D）12【答案】D.6.【2014·福建卷（理3）】等差数列{}na的前n项和nS，若132,12aS，则6a().8A.10B.12C.14D【答案】C7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列{}na的公差为d，若数列1{2}naa为递减数列，则（）A．0dB．0dC．10adD．10ad【答案】D8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（）.2nAan.2(1)nBan.2nnCa1.2nnDa【答案】C9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列{}na,下列说法一定正确的是（）139.,,Aaaa成等比数列236.,,Baaa成等比数列248.,,Caaa成等比数列369.,,Daaa成等比数列【答案】D10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列{}na中,1352,10aaa，则7a（）.5A.8B.10C.14D【答案】B11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列na满足1na=na11，2a=2，则1a=_________.【答案】2112.【2014·安徽卷（理12）】数列an是等差数列，若1a1，3a3，5a5构成公比为q的等比数列，则q________.【答案】1q。13.【2014·北京卷（理12）】若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n________时na的前n项和最大.【答案】814.【2014·天津卷（理11）】设{}na是首项为1a，公差为-1的等差数列，nS为其前n项和.若124,,SSS成5等比数列，则1a的值为__________.【答案】12-15.【2014·江西卷（文13）】在等差数列na中，17a，公差为d，前n项和为nS，当且仅当8n时nS取最大值，则d的取值范围_________.【答案】718d16.【2014·广东卷（理13）】若等比数列na的各项均为正数，且512911102eaaaa，则1220lnlnlnaaa。【答案】5017.【2014·广东卷（文13）】等比数列na的各项均为正数且154aa，则2122232425logloglogloglogaaaaa＝.【答案】518.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)由题设11nnnaaS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa…………6分（Ⅱ）由题设1a=1，1211aaS，可得211a，由(Ⅰ)知31a假设{na}为等差数列，则123,,aaa成等差数列，∴1322aaa，解得4；证明4时，{na}为等差数列：由24nnaa知数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4的等差数列2143mam令21,nm则12nm，∴21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4的等差数列241mam令2,nm则2nm，∴21nan(2)nm∴21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得{na}为等差数列.………12分19.【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知na是递增的等差数列，2a，4a是方程2560xx的根。（I）求na的通项公式；（II）求数列2nna的前n项和.6【解析】：（I）方程2560xx的两根为2,3,由题意得22a，43a，设数列na的公差为d,，则422aad，故d=12，从而132a，所以na的通项公式为：112nan…………6分(Ⅱ)设求数列2nna的前n项和为Sn,由(Ⅰ)知1222nnnan，则：23413451222222nnnnnS34512134512222222nnnnnS两式相减得341212131112311212422224422nnnnnnnS所以1422nnnS………12分20.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列na满足1a=1，131nnaa.（Ⅰ）证明12na是等比数列，并求na的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112naaa…+.【解析】（1）的等比数列。公比为是首项为3,2321}21{∴).21(3211321a∴.*N∈.n13,111n11=+++=++=++==++aaaaaaannnnn(2)由（1）知1322nna，故