3.1.1 方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点问题1求下列方程的根．（1）016x；（2）01632xx；（3）01635xx；怎么解呢？提出问题引入新课花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程解法史话:062lnxx问题2：求下面这个方程的实数根怎么解呢？问题3转换角度！用函数的思想去解决方程的问题。即：通过研究相应函数去解方程。怎么解一般的方程?0)(xf问题4方程0)(xf的根与函数)(xfy之间有什么样的关系呢？思考探究一有什么关系？的图像与二次函数的根一元二次方程)0()0(022acbxaxyacbxax先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数03212xx）方程（01222xx）方程（032)3(2xx方程322xxxf122xxxf322xxxf思考探究一方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3判别式000y=ax2+bx+c的图象ax2+bx+c=0的根xyx1x20xy0x1xy0函数的图象与x轴的交点两个交点(x1,0),(x2,0)无交点有两个相等的实数根x1=x2无实数根两个不相等的实数根x1、x20,2ab一个交点结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与X轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与X轴无交点。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，以.0为例画图a推广到更一般的情况，得：轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程xxfyxf)(0)(1.函数的零点：成立的把使对于函数0)(),(xfxfy.)(y的零点叫做函数xf实数x零点是一个点吗?(1)零点是一个实数的有零点函数轴有交点的图象与函数有实数根方程)()(0)(xfyxxfyxf所以：的零点函数轴交点的横坐标的图象与函数的实数根方程)()(0)()2(xfyxxfyxfxy2log12xxy2110012xy1.函数的零点是：_____2.函数的零点是：_____4.函数的零点个数是：_____12xy3.函数的零点是：_____5.函数的零点个数是：____232)(2xxxf2练习1练习2函数y=f(x)的图象如下，则其零点为.213xyO-2,1,3思考探究二所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？观察二次函数32)(2xxxf的图象，可以发现-15-4计算)2(f_______，)1(f_______,发现)2(f·)1(f_____0（＜或＞）．②在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？①在区间[-2,1]上有零点______。思考探究二零点；无有上在区间)/___(],[)1(ba的图象观察下面函数)(xfy)(0__)()(或cfbf无）零点；（有上在区间/____,)2(cb)(0__)()(或bfaf无）零点；（有上在区间/__,)3(dc)(0___)()(或dfcf有有有a0bcdyx思考探究二abxy0ab0yxab0yx思考探究二内一定存在零点吗？在区间则函数义，而且满足上有定在区间若函数baxfybfafbaxfy,,0],[)(2.零点存在性定理：那么这个使得,0)(),,(cfbac的根。0)(xf在区间)(xfy如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，（a,b）内有零点，即存在连续不断c也就是方程（1）两个前提条件缺一不可Oxaby（2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)﹤0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是否有唯一零点？xbayOabxyOa至少有一个，可以有多个。在区间)(xfy那么如果函数上的图象是在区间baxfy,)(的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，并且是单调函数，（a,b）内有且只有一个零点。连续不断abxy0（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？abbbbbbbbbbbbbbbbxy0(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)0的结论吗？反之不成立！(5)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，f(a)f(b)﹥0,那么函数y=f(x)在区间(a，b)有无零点？(6)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。由f(2)0,f(3)0，则f(2)·f(3)0，所以函数在区间(2,3)内有零点.又函数f(x)在定义(0,+∞)内是增函数，所以函数至多有一个零点；解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219综上，函数有且仅有一个零点.3、学以致用练习1：在下列哪个区间内,函数f(x)=x3＋3x－5一定有零点（）A、(－1,0）B、(0,1）C、(1,2）D、(2,3）C练习2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表：–26–12–511–7923f(x)7654321x那么该函数在区间[1，6]上有（）零点.A、只有3个B、至少有3个C、至多有3个D、无法确定B练习2：（1）一个定义：函数的零点一个定理：零点存在定理小结提高（3）渗透了函数与方程、数形结合的思想（2）判断函数零点是否存在可以考虑用：函数图象、零点存在定理等