通信第三章 常见函数的傅里叶变换

1.傅里叶级数定义及适用条件2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质4.周期信号的傅里叶变换5.抽样定理6.功率频谱与能量频谱7.系统频域分析法8.希尔伯特变换第3章傅里叶变换重点：傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”,1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。3.1傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,ttttktkt21*()()d1tiitftftt21*()()d0tijtftfttij，三角函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：3.2周期信号的傅里叶分析1.归一化：2.归一正交化：3.归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号周期的终点111111{1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,}ttttktkt1212π2πTtt设三角函数的完备函数集为：其中三角函数集也可表示为：11{cos(),sin()0,1,2,}ntntn3.2.1傅里叶级数的三角形式基频周期周期的起点2111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos()dsin()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n时，有（2）“单位”常数性，即当满足：（1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有可以将“任意”周期函数在这个正交函数集中展开为()ft0111()(cossin)nnnftaantbnt22112211112121212()cos()d,0()cos()d1cos()d()d,0ttttnttttftnttnftnttttanttfttntt221211112211()sin()d2()sin()dsin()dtttntttftnttbftnttttntt系数称为傅里叶级数011()cos()2nnnaftcnt0111()(cossin)2nnnaftantbnt或211212()cos()dtntaftntttt同上式傅里叶级数的三角展开式另一种形式t直流分量n=1n1基波分量n次谐波分量可展开为傅里叶级数的条件：()ft（2）在区间内有有限个间断点；()ft（1）绝对可积，即：()ft21()dttftt（3）在区间内有有限个极值点。()ftDirechlet条件傅里叶级数存在的充要条件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中，为n次谐波振幅。为n次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！1.从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2傅里叶级数的复指数形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt利用欧拉公式:11j()j()11()[e][e]22nntntnnnnftcA式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab22nnncabarctan()nnnba幅度相位复指数幅度22112211111j1122j()cos()dj()sin()d22()[cos()jsin()]d()edttnnnttttntttAabftnttftnttTTftntnttfttTTnA的具体求法如下：1j()()entnnftF2.直接从复变正交函数集推导1j(){e1,2,}ntn中展开，有()ft在复变正交函数空间将原函数2121121111j*jjj*()(e)d1()ed(e)(e)dtntttntnttntnttfttFfttTtje2nnnnAFF式中例00()()TkttkT求的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。0()Tt已知冲激序列…-T0OT02T0t0()Tt0()tT()t…00j01()entTntT0010012()cosTntntTT0()Tt的三角傅里叶级数为：001aT002000222()cosdTTnatnttTT0nb又解000j200211()edTntTnFttTT100()()()()AftAtututTT100000()()[()][()((1))]nnAftftnTAtnTutnTutnTT求下图中三角波的三角傅里叶级数。1()ft()ft则为的周期延拓，即将()ftAC()ft去除直流分量，则仅剩交流分量()ft0[0,]tT在内的函数记为（1）将周期函数例解A()ft-T0OT02T0tAC00000000001100000()()[()((1))][()]{()((1))}122()(cos)cosnnnnnAftftutnTutnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT0AC0110sin2()cosdπtnnntAAftnTnD/2fA01sin()2πnntAAftn故000001d2TAAattTT0na000002sindπnTAAbtnttTTn（2）利用直接法求解故01sin()2πnntAAftn111j011()ecos()sin()NNNntnnnnNnnftFaantbnt常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v)；给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b)；给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.2.3傅里叶级数的MATLAB仿真实现3.3周期信号的对称性1．纵轴对称性（1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。（2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。满足的周期为T的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。(/2)()ftTft定义：奇谐函数偶谐函数满足的周期为T的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。(/2)()ftTft2．横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。已知奇谐函数：例解t()fto12T12T2E2E1cost11cos()2Ttt()fto12T12T2E2E1sint11sin()2Ttt()fto12T12T2E2E()ft1()2Tftt()fto12T12T2E2E1sin2tt()fto12T12T2E2E1cos2t3.4常见周期信号的频谱3.4.1频谱的概念频谱图表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率（单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值。nF振幅频谱（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位（单位常用度或弧度）。n相位频谱（相频特性图）1,()220,kTtkTft其它例，求频谱解（1）单边频谱：1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT()ftT2t2oT1（2）双边频谱：11111/2j2/2j2/211/2212sin11e24edj2sin(),0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT包络线频谱图随参数的变化规律：1）周期T不变，脉冲宽度变化第一个过零点：2Sa()0π22π谱线间隔2πTnF2O141,()()444nTnnFSaSaTT情况1：第一个过零点为n=4。在有值（谱线）nF12π/4()ftT2t2oT11,()()888nTnnFSaSaTT第一个过零点n=8情况2：()ftT2t2oT1脉冲宽度缩小一倍nF2πo18第一个过零点增加一倍谱线间隔不变2πT幅值减小一倍1,()()161616nTnnFSaSaTT第一个过零点为n=16。情况3：()ftT2t2oT1脉冲宽度再缩小一倍示意图第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变2πT幅值再减小一倍nF1162πo•由大变小，Fn第一过零点频率增大，即所以称为信号的带宽，确定了带宽。•由大变小，频谱的幅度变小。•由于T不变，谱线间隔不变，即不变。结论2π/T第一个过零点情况1：时，谱线间隔2）脉冲宽度不变,周期T变化()ftT2t2oT1示意图第一个过零点谱线间隔2ππ2TnF142π0幅值:41)0(0SaTF第一个过零点情况2：时，谱线间隔()ft2t2oT1周期T扩展一倍示意图TnF4120TnF182πo谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍第一个过零点情况3：时，谱线间隔T()ft2t2o1周期T再扩展一倍T2T2T示意图nF8120nF1162π0谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍第一个过零点不变•不变，Fn的第一个过零点频率不变，即带宽不变。•T由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。•T时，谱线间隔0，这时：周期信号非周期信号；离散频谱连续频谱结论典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：1.周期矩形脉冲信号2.周期对称方波信号3.周期锯齿脉冲信号4.周期三角脉冲信号5.周期半波余弦信号6.周期全波余弦信号3.4.2常见周期信号的频谱1.周期矩形脉冲信号(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T111()[()()],2222TTftEututto/2/2E1Tt()ft1T110111,()π20,0π,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT1j1111111()()cos()()π22entnnEnnEEftSantSaTT三角指数1101(),0,()π2nnftEnEabaSaT是偶函数1,2π0~2π1(,)fnBBB周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为主要能量集中在第一个零点以内，即称为其频带宽