2.3.1平面向量基本定理

2.3.1平面向量的基本定理设、是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，a是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究a与、之间的关系。1ea2e研究OC=OM+ON=21OA+OB11e2e2即a=+.1ea1eA2eOaCB2eNMMN平面向量基本定理一向量a有且只有一对实数、使21共线向量，那么对于这一平面内的任如果、是同一平面内的两个不1e2e11ea=+2e2示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表1e2e（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？21（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE特别的，若a=0，则有且只有：可使0=11e2e2+.21==0？若与中只有一个为零，情况会是怎样？21特别的，若a与（）共线，则有=0（=0），使得:a=+.121e22e2e11e已知向量求做向量-2.5+3例3：、1e2e1e2e1e2e15.2e23eOABC·1eOABC·?MMDMCMBMAbabADaABABCD、、、表示、，用　，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形例4DCBAM例５ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCE例5、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM21=(AN-AD)-DC(AD–AB)+DCANMCDBDC=AB=21211e设AB=,AD=,则有：1e2e41=-.2e1e1e2e1e21=-+=2141=--2e1e1e2e211e-+设a、b是两个不共线的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a–b,若A、B、D三点共线，求k的值。A、B、D三点共线解：AB与BD共线，则存在实数λ使得AB=λBD.λ使得AB=λBD.思考k=8.=a–4b由于BD=CD–CB=(2a–b)–(a+3b)则需2a+kb=(a–4b)由向量相等的条件得2=k=4则需2a+kb=(a–4b)2-=0k–4=0此处可另解：k=8.即（2-）a+(k-4)b=02.3.2平面向量的坐标表示与运算2.3.2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1．在平面内有点A和点B，向量怎样表示？AB2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？a=xi+yj．有且只有一对实数x、y，使得3．分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j能否作为基底？Oxyij任一向量a，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=xi+yj那么i=（，）j=(，)0=（，）1001002.3.2平面向量的坐标表示OxyijaA(x,y)a1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?aOA由a唯一确定2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？两者相同向量a坐标（x，y）一一对应概念理解3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba且2.3.2平面向量的坐标表示解：由图可知jiAAAAa3221)3,2(a　同理，)3,2(32jib)3,2(32jic)3,2(32jid例1．如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标．AA2A12.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知a，b，求a+b，a-b．),(11yx),(22yx解：a+b=(i+j)+(i+j)1x1y2x2y=（+)i+（+)j1x2x1y2y即),(2121yyxxa+b同理可得a-b),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差2.3.3平面向量的坐标运算2．已知．求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：OAOBAB),(),(2211yxyx),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．),(yxa2.3.3平面向量的坐标运算例2．已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b，a-b，3a+4b的坐标．解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4）=（6，3）+（-12，16）=（-6，19）2.3.3平面向量的坐标运算例3．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D2.3.4平面向量共线的坐标表示1.如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?会得到什么样的重要结论?1.向量与非零向量平行(共线)的充要条件是有且只有一个实数,使得abba设即中,至少有一个不为0,则由得),,(11yxa),(22yxbba0,b22,yx01221yxyx01221yxyx这就是说:的充要条件是)0(//bba3.向量平行(共线)充要条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba2.3.4平面向量共线的坐标表示例题1.已知ybayba求且,//),,6(),2,4(2.已知求证:A、B、C三点共线。),5,2(),3,1(),1,1(CBA3.若向量与共线且方向相同,求x.),,1(xa)2,(xb2.3.4平面向量共线的坐标表示