2.3.1平面向量正交分解及坐标表示2012..5.12

2.3.2-3平面向量正交分解及坐标表示问题情境火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。在力的分解的平行四边形过程中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力之和。那么平面内的任一向量否可以用两个不共线的向量来表示呢？动画演示设、是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，a是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究a与、之间的关系。1ea2e研究平面向量基本定理一向量a有且只有一对实数、使21共线向量，那么对于这一平面内的任如果、是同一平面内的两个不1e2e11ea=+2e2这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表1e2e（1）一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？21（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE新课:向量的夹角.使两个向量的起点重合],0[____;,0)1(ba与时当____;,)2(ba与时当.____,2)3(ba与时当1eOABC·?MMDMCMBMAbabADaABABCD、、、表示、，用　，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形例1DCBAM例2如图，质量为10kg的物体A沿倾角θ=300的斜面匀速下滑，求物体受到的滑动摩擦力和支持力。FMNEG练习1如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，AB=a,AD=b,用a，b表示BF和DE。ACFEBDACBADEFG2、设G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b试用a,b表示AD。CBADEFG2、设G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b试用a,b表示AG。CBADEFG变式2、设G是△ABC的重心，若CA=a,CB=b那么GA+GB+GC=?。设a、b是两个不共线的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a–b,若A、B、D三点共线，求k的值。A、B、D三点共线解：AB与BD共线，则存在实数λ使得AB=λBD.λ使得AB=λBD.思考k=8.=a–4b由于BD=CD–CB=(2a–b)–(a+3b)则需2a+kb=(a–4b)由向量相等的条件得2=k=4则需2a+kb=(a–4b)2-=0k–4=0此处可另解：k=8.即（2-）a+(k-4)b=0例5、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,在图中确一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM21=(AN-AD)-DC(AD–AB)+DCANMCDBDC=AB=21211e设AB=,AD=,则有：1e2e41=-.2e1e1e2e1e21=-+=2141=--2e1e1e2e211e-+评析能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。例５ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCEFBADCEE、F分别是DC和AB的中点,AE=AD+DE=b+a2121CF=CB+BF=-b-aAE=-CFAE与CF共线，又无公共点AE,CF平行.解：设AB=a,AD=b.1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。评析2.在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底（不共线向量与），从而将问题转化为关于、的相应运算。1e2e1e2e总结：1、平面向量基本定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、λ２的存在和唯一（２）基底的不唯一（３）定理的拓展３、平面向量基本定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题思考在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD的中点，用向量的方法证明：EF//AD//BC,且EF=(AD+BC)21例4.设O是ΔABC内一点,且0OCOBOA,则O是ΔABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心例4.设O是ΔABC内一点,且0OCOBOA,则O是ΔABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心解:恒等变形,OCOBOA,作OCOD,C四边形ADBO是平行四边形,O对角线互相平分,O为ABΔABC的重心,选C.D设、是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，a是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究a与、之间的关系。1ea2e研究平面向量基本定理一向量a有且只有一对实数、使21共线向量，那么对于这一平面内的任如果、是同一平面内的两个不1e2e11ea=+2e2这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表1e2e（1）一个平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？21（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE新课:向量的夹角.使两个向量的起点重合],0[____;,0)1(ba与时当____;,)2(ba与时当.____,2)3(ba与时当如图1，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任何一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把（x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x，y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，（x,y）叫做向量的坐标表示。一、平面向量的坐标表示ayjiO图1xiyxOyxjA（x,y）aa图2如图2，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a惟一确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数惟一表示。例1如图3，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd图3解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j,∴a=(2,3)同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)二、平面向量的坐标运算已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2),根据上面的结论，有AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)练习：已知＝（x,y),点B的坐标为（－2，1）求的坐标.ABOA已知＝（x,y),点A的坐标为（3，2）点B的坐标为（－2，1）求的坐标.ABAB已知＝（-5,-1),点A的坐标为（x，y）点B的坐标为（－2，1）求A的坐标.AB已知＝（-5,-1),点A的坐标为（3，2）点B的坐标为（x，y）求B的坐标.AB2、1、3、4、已知a=(x,y)和实数λ，那么λa=(λx,λy)即λa=(λx,λy)•这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。例2已知(2,1),(3,4),ab求,,34ababab的坐标.解：(2,1)(3,4)(1,5);ab(2,1)(3,4)(5,3);ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)(6,19).ab2.3.3平面向量的坐标运算例3．已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．解：设顶点D的坐标为（x，y）），（）），（　211321(AB)4,3(yxDC，得由DCAB)4,3()2,1(yxyx4231　　　22yx），的坐标为（　顶点22D例3已知(1,1),(,1),2,2,abxuabvab(1)若3,uv求x;(2)若//,uv求x.解：(1,1),(,1),abx(1,1)2(,1)(1,1)(2,2)(21,3)uxxx2(1,1)(,1)(2,1)vxx(1)3(21,3)3(2,1)uvxx(21,3)(63,3)xx2163,xx解得：1x(2)//(21)3(2)0uvxx1x评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等。例4平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知(3,7),(2,1),ADAB求OB坐标.ADBCO分析：OB的坐标，只要求得DB的坐标即可.解：由要求得(3,7),(2,1),ADAB(2,1)(3,7)DBABAD(5,6)115(5,6)(,3)222OBDB评述：向量的、加减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系。例5下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（）12(1)(1,2),(5,7);ee12(2)(3,5),(6,10);ee1213(3)(2,3),(,).24eeA.(1)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)AA三、向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使a=λb这个结论如果用坐标表示，可写为（x1,y1）=λ(x2,y2)即x1=λx2y1=λy2消去λ后得也就是说，a//b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0x1y2-x2y1=0谢谢同学们再见