2.3.1离散型随机变量的数学期望

良乡中学数学组任宝泉良乡中学数学组制作：任宝泉书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!!!什么也不问的人什么也学不到!!!怀天下，求真知，学做人普通高中课程标准数学2-3(选修)第二章概率2.3.1离散型随机变量的数学期望（约2课时）2020年1月27日星期一普通高中课程标准[e-mail]一、复习引入1.离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2.离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．普通高中课程标准[e-mail]一、复习引入3.常见的离散型随机变量分布列：(1)两点分布X10Pp1-p(2)超几何分布X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC…普通高中课程标准[e-mail]一、复习引入3.常见的离散型随机变量分布列：(3)二项分布(q=1-p)X01…k…nP00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq……根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此。普通高中课程标准[e-mail]二、提出问题引例1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？1111222334210X换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P41031021011043211234210101010X权数加权平均普通高中课程标准[e-mail]二、提出问题引例2：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：X182436P36261611118243623(/)236Xkg元普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念1.离散型随机变量的数学期望(均值)一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：1122()iinnEXxpxpxpxp则称为随机变量X的平均值或数学期望(mathematicalexpectation)。P1xix2x······1p2pip······nxnpX普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念1.离散型随机变量的数学期望(均值)几点说明：(1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。(2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若p1=p2=p3=…=pn，此时1121inpppppn121()()inEXxxxxn这说明数学期望与平均值具有相同的含义。普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念2.离散型随机变量的数学期望(均值)的性质性质1：若随机变量Y=aX+b，其中a，b为常数，则E(Y)=aE(X)+b。证明：设随机变量X的分布列为P1xix2x······1p2pip······nxnpX1122iinnEXxpxpxpxp性质1：若随机变量Y=aX+b，其中a，b为常数，则EY=aEX+b。P1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxn所以，随机变量Y的分布列为性质2：若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p。性质3：若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则E(X)=np普通高中课程标准[e-mail]三、概念形成概念2.离散型随机变量的数学期望(均值)的性质性质4：若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则。()nMEXN普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？解：因为X可取的值为0，1，所以X服从两点分布，X01P0.30.7所以，E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；(1)求他得到的分数X的分布列；(2)求X的期望。解：(1)依题意可知，X～B(3,0.7)，所以其分布列为0.730.3P3210X例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；(1)求他得到的分数X的分布列；(2)求X的期望。1230.70.3C2230.70.3C(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为()30.72.1EX练习：根据历次比赛记录，甲、乙两射手在同样条件下进行射击比赛成绩分布如下：试比较甲、乙两射手射击水平的高低。射手8环9环10环甲0.30.10.6乙0.20.50.3普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ξ，η，则依题意，ξ～B(20,0.9)，η～B(20,0.25)。()200.918E例3.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。()200.255E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ，5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：所以，E(5ξ)=90，E(5η)=25。普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例4.一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其所含白球的数学期望。解：根据提设可知，所含白球数X服从参数N=10，M=5，N=4的超几何分布，则45()210nMEXN所以，从中任取4个球，平均来说会含有两个白球。普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例5.根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率是0.25，有大洪水的概率是0.01。设工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元。但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。例5.根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率是0.25，有大洪水的概率是0.01。设工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元。但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。解：用X1，X2和X3分别表示三种方案的损失，对于方案1，无论有无洪水，都将损失3800元，即X1=3800。普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例6.在一次摸奖游戏中，一袋中装有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和。玩者交5元钱，可以参加一次摸奖。求抽奖人获利的数学期望。解：设X表示为抽到的2球的钱数之和，则X的可能取值如下X=2(抽到2个1元的)，X=6(抽到1个1元，1个5圆)X=10(抽到2个5元)所以，依题意有例6.在一次摸奖游戏中，一袋中装有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和。玩者交5元钱，可以参加一次摸奖。求抽奖人获利的数学期望。2821028(2)45CPXC118221016(6)45CCPXC222101(10)45CPXC普通高中课程标准[e-mail]四、应用举例例7.某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定的时间来领取。假设任意一客户去领奖的概率为4%，问寻呼台能否向每位用户都发出领奖邀请？若能使每位领奖人都得到礼品，则寻呼台至少应准备多少礼品？解：设来领奖的人数X=k，k=0，1，2，…，300030003000()(0.04)(10.04)kkkPXkC所以，(3000,0.04)XB则()30000.04120EX那么答：寻呼台不可能向每位用户都发出邀请。若要使每位领奖人都得到礼品，至少要准备120份礼品。普通高中课程标准[e-mail]五、课堂练习课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7普通高中课程标准[e-mail]六、课堂总结1.离散型随机变量X的数学期望：1122()iinnEXxpxpxpxpP1xix2x······1p2pip······nxnpX2.数学期望的性质(1)()()EaXbaEXb(2)随机变量X服从两点分布普通高中课程标准[e-mail]六、课堂总结2.数学期望的性质X10Pp1－p()EXp(3)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n,p)，则，E(X)=np(4)若随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则()nMEXN普通高中课程标准[e-mail]七、布置作业课本第64页，习题2-3B，1，2弹性作业：《新教材新学案》第62~68页普通高中课程标准[e-mail]下课