2.3.1等差数列前N项和的公式

等差数列前n项和公式复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq221114,1,0,=nnnnaaaaa、已知数列满足：则？2{a},a,,(pq),a?npqpqqap、等差数列则22134m-n=、(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成首项为的等差数列，则？123111231nnnnnSaaaaaSaaaa问题一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”下一页问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯下一页问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12)1(),1(2nnSnnS下一页设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导下一页即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n(n-1)d/2下一页下一页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda正所谓：知三求二下一页【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.等差数列的前n项和公式类同于；梯形的面积公式n例1等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？112()nnnsnad-=+26270,整理后得nn--=解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.公式练习：学案例1•1、何时选择求和公式一？•何时选择求和公式二？•2、等差数列的前n项和的函数特征是什么？跟踪训练例3求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n100得n100／7,.7214n由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是2)987(1414S答:集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735例3.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?nan212nsnnnnSa二、已知,求2nnnaa变式:已知数列的前n项和为S=2n-2n+3,求数列的通项公式.33,?nnnSa、三、等差数列前n项和最值4404,nan例、已知等差数列，则前多少项的和最大？最大值是多少？①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）课堂小结下一页