余弦定理优秀课件

余弦定理用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？①两角和一边，②两边和其中一边的对角。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。sinsinsinabcABC[复习回顾]思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？不能，在正弦定理中，已知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。sinsinsinabcABC那么，怎么解这个三角形呢？22ABACCB222ABACACAB222COSABACAACABACBCBAABCBCA同理，从出发，证得从出发，证得2222cosacBcba2222cosabCbca证明：CBABAC学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。已知AB,AC和它们的夹角A，求CB2222cosbcAacb即CBA[向量法][解析法]﹚yx(bcosC,bsinC)(a,0)(0，0)证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(0,0)C(,0)Ba(cos,sin)AbCbC222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222222∴c=a+b-2abcosC同理：222b=a+c-2accosB222a=b+c-2bccosA﹚yx(bcosC,bsinC)(a,0)(0，0)[解析法]ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。D[几何法]ABCcba2222cosbcAacb2222cosacBcba2222cosabCbca用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和,再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理例1：若已知b=8,c=3,A=,能求a吗？602260283cos49378a思考：余弦定理还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？2222cosbcAacb解：2222coscabbcA2222cosacbacB2222cosacbabC余弦定理的变形：例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A，B，C（精确到）1分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题解：222222710621062cos0.725cabbcA44A22222276102276cos0.178acbacB100B18036CAB练一练：1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是:2:1,又怎么求？归纳：利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。解：由余弦定理得：是锐角C是锐角三角形中的最大角是根据大边对大角，是锐角，）知：）由（（ABCABCCC12例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6（1)试判断角C是什么角？（2）判断△ABC的形状2222224561(1)cos022458abcCab变式训练：在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）222cbaＡ、钝角三角形Ｂ、直角三角形Ｃ、锐角三角形Ｄ、不能确定ACBAbac提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb推论：2222coscabbcA判断三角形的形状练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（）A、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中：，所以C是钝角22213244223cosCD中：，所以C是锐角，因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形22215648245cosCA、C显然不满足B练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。2222cosabCbca221314278987解：3c则有：b是最大边，那么B是最大角22222273822371cos7acbacB（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用：a、已知三边，求三个角b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状[小结]90A90A90A0222acb0222acb0222acb正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）28821分析：已知两边和两边的夹角解：2222cosabCbca2222.7303.696cos283.696822.7304.297c2222223.6964.2972.73023.6964.2972cos0.7767cabbcA232A3018058BAB[数学运用]思考:(1)还可怎样求角A？(2)角A会有两解吗？