高考数学第一轮考点两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件

考纲要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．热点提示1.以考查对公式的牢固记忆和深刻理解公式的变换功能为主．2．高考对本节的考查，主要集中在对公式的变换能力上，以选择题、填空题、解答题的形式出现，重点考查对公式进行逆用、变形用和配凑用的能力．3．预测2011年高考还将继续考查公式的基本变形能力.1．两角和与差的余弦公式：cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝.2．两角和与差的正弦公式：sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.cosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ(1)要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用和变形用，也应注意公式成立的条件．例如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等.4．二倍角的正弦公式：sin2α＝，二倍角的余弦公式：cos2α＝＝＝.二倍角的正切公式：tan2α＝2tanα1－tan2α(α，2α≠π2＋kπ，k∈Z)．2sinαcosα2cos2α－11－2sin2αcos2α－sin2α(1)升幂公式1±sinα＝(sinα2±cosα2)2；1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2.(2)降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.(3)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba，φ角所在象限与点(a，b)所在象限一致.1．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．2cos2π12－1C.1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan222.5°答案：D2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于()解析：原式＝sin17°·(－sin43°)＋(－sin73°)(－sin47°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝12，故选B.答案：B解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.答案：C4．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(π2，π)，若a·b＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：由a·b＝25，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝25，即1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝25，即sinα＝35.又α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34，∴tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝1－341＋34＝17.答案：解：原式＝(sinx＋1－2sin2x2－1)(sinx－1＋2sin2x2＋1)sin2x＝(2sinx2cosx2－2sin2x2)(2sinx2cosx2＋2sin2x2)4sinx2cosx2cosx＝(cosx2－sinx2)(cosx2＋sinx2)·sinx2cosx2cosx＝(cos2x2－sin2x2)·sinx2cosx2cosx＝cosxsinx2cosx2cosx＝tanx2.【例1】(1)化简：(1＋sinθ＋cosθ)(sinθ2－cosθ2)2＋2cosθ(0θπ)．(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°(1tan5°－tan5°)．思路分析：(1)从把角θ变为θ2入手，合理使用公式．(2)应用公式把非10°角转化为10°的角，切化弦．解：(1)原式＝(2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2)(sinθ2－cosθ2)4cos2θ2＝cosθ2(sin2θ2－cos2θ2)|cosθ2|＝－cosθ2·cosθ|cosθ2|.因为0θπ，所以0θ2π2，所以cosθ20，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°(cos5°sin5°－sin5°cos5°)＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin(30°－10°)2sin10°＝cos10°－2(12cos10°－32sin10°)2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.变式迁移1(1)化简：2sin8＋1＋2cos8＋2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.解：(1)原式＝21＋2sin4cos4＋4cos24＝2|sin4＋cos4|＋2|cos4|.由于π432π，则有sin4＋cos40，cos40.所以原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4.(2)原式＝(2sin50°＋sin10°×cos10°＋3sin10°cos10°)·2sin80°＝(2sin50°＋2sin10°×12cos10°＋32sin10°cos10°)×2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.【例2】已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2απ，0βπ2，求cosα＋β2的值．思路分析：角的变换：所求角分拆成已知角的和、差、倍角等，综合上述公式及平方关系．解：(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2，∵π2απ，0βπ2∴π4α－β2π，－π4α2－βπ4.∴sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝1－sin2(α2－β)＝53∴cosα＋β2＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)·sin(α2－β)＝7527.角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、倍、半等；如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名．综合运用和、差、倍角公式与平方关系时注意角的范围对函数值的影响．当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化.变式迁移2已知0βπ4α3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．解：cos(π4－α)＝sin(π4＋α)＝35，∵0βπ4α3π4，∴π2π4＋απ，3π43π4＋βπ.∴cos(π4＋α)＝－1－sin2(π4＋α)＝－45，cos(3π4＋β)＝－1－sin2(3π4＋β)＝－1213.∴sin[π＋(α＋β)]＝sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]＝sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)sin(3π4＋β)＝35×(－1213)－45×513＝－5665.∴sin(α＋β)＝5665.【例3】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.解：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－(17)2＝437.∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝1－(1314)2＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.∴β＝π3.(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正切或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－，)，选正弦较好．(2)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角.变式迁移3(2009·重庆卷)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：m·n＝3sinAcosB＋3cosAsinB＝3sin(A＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故3sinC＝1－cosC，即3sinC＋cosC＝1，即2sin(C＋π6)＝1，即sin(C＋π6)＝12，由于π6C＋π67π6，故只有C＋π6＝5π6，即C＝2π3.故选C.答案：C【例4】(2009·湖北卷)在△ABC中，已知2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|＝3BC2→，求角A，B，C的大小．思路分析：向量式2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|实际上给出了角A的余弦值，相当于知道了角A的大小，式子3|AB→|·|AC→|＝3BC2→，相当于知道了三角形三个边长之间的一个等式，根据正弦定理把其转化为角的关系，通过三角恒等变换解决．解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|，得2bccosA＝3bc，所以cosA＝32.又A∈(0，π)，因此A＝π6.由3|AB→|·|AC→|＝3BC2→，得bc＝3a2.于是sinC·sinB＝3sin2A＝34.所以sinC·sin(5π6－C)＝34，sinC·(12cosC＋32sinC)＝34，因此2sinC·cosC＋23sin2C＝3，sin2C－3cos2C＝0，即sin(2C－π3)＝0.由A＝π6，知0C5π6，所以－π32C－π34π3，从而2C－π3＝0，或2C－π3＝π，即C＝π6，或C＝2π3，故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3.本题就是“在△ABC中已知角A＝π6，bc＝3a2，求角B和角C”，试题把明显的已知条件通过三角形三边所在的向量表示出来，这个表示可谓匠心独具，使得试题增色不少.变式迁移4(2009·衡阳模拟)已知在△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，且满足m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA、sinC、sinB成等比数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求△ABC的面积和边c的大小．解：(1)∵m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，∴sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝2sinCcosC，∴cosC＝12.又C为△ABC的内角，∴C＝π3.(2)∵sinA，sinC，sinB成等比数列，∴sin2C＝sinAsinB.由正弦定理知c2＝ab.又CA→·(AB→－AC→)＝18，即CA→·CB→＝18，∴abcosC＝18，∴ab＝36，∴S△ABC＝12absinC＝93，c＝6.1．对公式的掌握，既要能正用，还要进行逆用及变形应用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如t