2019届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

第1页共20页2019届江苏省扬州中学高三上学期12月月考数学试题一、填空题1．1．函数3sin24yx的最小正周期是_____________.【答案】【解析】∵函数sinyx的周期为2，∴函数3sin24yx的最小正周期22T.2．设2(2)(zii为虚数单位），则复数z的模为【答案】5【解析】∵22(2)4434ziiii，∴22||3(4)5z.3．若角的终边经过点,则值为__________．【答案】【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出值．【详解】由题意可得x＝2，y＝3，∴tana，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．已知集合则___________．【答案】【解析】求出集合B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．【详解】第2页共20页＝{x|x}，又则A∩B＝{﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键．5．双曲线的两条渐近线的方程为__________．【答案】【解析】∵双曲线的，，焦点在轴上，∴渐近线方程为．6．若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】根据奇函数定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），化简可求．【详解】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，属于中档题．7．已知，则的值等于__________．第3页共20页【答案】【解析】先根据α，β的范围，求出cos（α+β）和sinβ的值，再利用α＝α+β﹣β的关系，利用正弦两角和公式得出答案．【详解】由0＜α，β＜π，得α+β．∴cos（α+β）＜0，sinβ＞0∴cos（α+β）sinβ．∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝（）（）﹣（）•．故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数的两角差公式及同角基本关系式，关键是能熟练掌握公式，并灵活运用．8．如图，在三棱柱111ABCABC中，D，E，F分别为AB，AC，1AA的中点，设三棱锥FADE体积为1V，三棱柱111ABCABC的体积为2V，则12:VV【答案】124第4页共20页【解析】依题意，14ADEABCSS，三棱锥FADE的高1h为三棱柱111ABCABC的高2h的12.∴112211111334224ADEABCShVVSh.【考点定位】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.9．抛物线2yx在1x处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点(,)Pxy是区域D内任意一点，则2xy的取值范围是【答案】1[2,]2【解析】∵2yx，∴2yx，1|2xy，而当1x时1y，即切点为(1,1)，切线方程为12(1)yx，即210xy，切线与两坐标轴围成的三角形区域为D如图，令2uxy，由图知，当斜率为12的直线经过1(,0)2A，2uxy取得最大值，即12Maxu；当斜率为12的直线经过(0,1)B，2uxy取得最大值，即min2u.故2xy的取值范围是1[2,]2.【考点定位】.导数的集合意义，不等式表示的平面区域，线性规划求目标函数的取值范围.中等题.10．设、分别是的边，上的点，，.若（为实数），则的值是【答案】第5页共20页【解析】依题意，，∴，∴，，故.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.11．若函数在定义域内某区间H上是增函数，且在H上是减函数，则称的在H上是“弱增函数”．已知函数的上是“弱增函数”，则实数的值为________．【答案】【解析】根据二次函数与对勾函数的单调区间列出不等式组得出结论．【详解】由题意可知g（x）＝x2+（4﹣m）x+m在（0，2]上是增函数，∴0，即m≤4．令h（x）x4﹣m，则h（x）在（0，2]上是减函数，（1）当m≤0时，h（x）在（0，2]上为增函数，不符合题意；（2）当m＞0时，由对勾函数性质可知h（x）在（0，]上单调递减，∴2，即m≥4．又m≤4，故m＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了函数单调性判断，单调区间的求法，属于中档题．第6页共20页12．已知实数,满足，则的最小值为________．【答案】【解析】根据题意，，则，，据此有3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]，，构建新函数，利用导数求最值．【详解】根据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．【点睛】第7页共20页本题考查利用导数研究函数的最值问题，解题关键整体换元合理构建新函数，属于中档题.13．如图，已知椭圆，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点M恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】分析可得直线AB2与FB1的方程，联立两直线的方程可得：2，又由直线AB2与直线B1F的交点恰在直线上，即可得（）2﹣（）＝2，解可得的值，由椭圆离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，A的坐标为（﹣a，0），B1的坐标为（0，﹣b），B2的坐标为（0，b），F的坐标为（c，0），则直线AB2的方程为：1，直线FB1的方程为：1，联立两直线的方程可得：2，又由直线AB2与直线B1F的交点恰在直线上，则有2，即（）2﹣（）＝2，第8页共20页解可得：2或﹣1（舍），又由e，则椭圆的离心率e；故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是由直线的截距式方程得到直线AB2与FB1的方程．14．已知函数记，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，转化为函数与的图象有交点的横坐标在上，利用数形结合法求解即可.【详解】由题意，条件可转化为函数，在上存在零点，所以方程有根，所以函数与的图象有交点的横坐标在上，所以函数的图象为顶点在直线上移动的折线，如图所示，可得，即，所以实数的取值范围是.第9页共20页【点睛】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中把条件可转化为函数在上存在零点，进而函数与的图象有交点的横坐标在上是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理论证能力.二、解答题15．已知，.（1）若，求的值；（2）设，若，求，的值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，结合条件可得结果；（2）根据向量坐标运算公式和三角函数性质即可得出α，β的值．【详解】（1）由题意可知，且∴（2），∴，由此得，由，得，又，故，代入得，而，∴，.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于中档题．第10页共20页16．如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面分别与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由平面可得，结合可证平面.（2）先由证明平面，从而得到，故.详解：（1）证明:∵在四棱锥中，平面，平面，∴，∵，，∴平面.（2）∵，过的平面分别与交于点，故平面平面又平面，平面，∴平面，而平面，∴∴点睛：（1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.第11页共20页（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【答案】（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．【解析】试题分析：（1）易得的面积．当且仅当时，取“”．即当米；（2）由题意得，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，又，当时,有最小值,从而求得正解．试题解析：设米，米．（1）则的面积．当且仅当,即时，取“”．即当米,米时,可使三角形地块的面积最大．（2）由题意得，即，要使竹篱笆用料最省，只需其长度最短，所以第12页共20页，当时,有最小值,此时当米,米时,可使篱笆最省．【考点】1、解三角形；2、重要不等式．18．已知椭圆：（）和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为（）的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方）.当时，弦的长为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）若依次成等差数列，求直线的方程.【答案】（1）椭圆的方程为：，：；（2）直线的方程为：.【解析】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求的值，而本身满足，只要再建立一个关于的等式即可求出的值，这可从直线被圆截得的弦长为考虑，运用垂径定理建立关于等式；（2）求直线的方程，因为直线已经经过，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为成等差数列，结合椭圆的定义，可求得的长，从而可求得的坐标，最终可求得直线的方程.第13页共20页试题解析：（1）取的中点，连，由，，知，，，即，从而，椭圆的方程为：，：.（2）设，，又的长成等差数列，，设，由解得，，：.【考点】直线与圆、直线与椭圆.19．已知函数．（1）若曲线在处的切线过点．①求实数的值；②设函数，当时，试比较与的大小；（2）若函数有两个极值点，（），求证：．【答案】(1)①;②见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）①求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；②由，设，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论．（2）设通过讨论的范围，得到函数的单调性，根据得到，进而得到，设，得到单调减函数，即可作出证明．第14页共20页详解：（1）①因为，所以，由曲线在处的切点为，所以在处的切线方程为．因为切线过点，所以．②，由．设（），所以，所以在为减函数．因为，所以当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则．（2）由题意，有两个不等实根，（）．设，则（），当时，，所以在上是增函数，不符合题意；当时，由，得，列表如下：0↗极大值↘由题意，第15页共20页，解得，所以，因为，所以．因为，所以，所以（）．令（），因为，所以在上为减函数，所以，即，所以，命题得证．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20．已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）满足要求的为.【解析】（1）由当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，an＝Sn﹣Sn﹣1，即可求得an＝2an﹣1，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；第16页共20页（2）由．采用“累乘法”即可求得当n≥2时，bn+1﹣bn﹣1＝2，数列{bn}的奇数项，偶数项分别成立等差数列，b3＝T2＝b1+b2＝3，b1+b3＝2b2，数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列