2019届湖北省荆门市龙泉中学高三11月月考数学(理)试题(解析版)

第1页共22页2019届湖北省荆门市龙泉中学高三11月月考数学（理）试题一、单选题1．集合,，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】因，则，应选答案B。2．已知复数z满足：21izi，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为A．1355iB．1355iC．13iD．13i【答案】B【解析】2i1iz1i2i1i2i5z13i55，所以z的共轭复数为13i55.故选B.3．若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴∈（，），又因为，∴故sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin==,故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间第2页共22页的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.4．在“吃鸡”游戏中，某玩家被随机降落在边长为4的正三角形绝地岛上，已知在离三个顶点距离都大于的区域内可以搜集枪支弹药、防弹衣、医疗包等生存物资，则该玩家能够获得生存物资的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【详解】设满足条件的正三角形为ABC，如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形16＝4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影＝2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P＝11π，故选：A．【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，本题考查的是面积的比，第3页共22页属于基础题.5．下列说法正确的是()A．命题“∃x∈R,使得”的否定是:“∀x∈R,”.B．“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件.C．,“”是“”的必要不充分条件.D．命题p:“∀”,则﹁p是真命题.【答案】C【解析】A．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．C.根据充要条件的定义，可判断D．根据三角函数的性质进行判断．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】A．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≤0”，故A错误，B．若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，此时p∨q为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C．a∈R，“1”⇔“a＜0，或a＞1”，又“a＜0，或a＞1”是“a＞1”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；D．∵sinx+cosxsin（x）恒成立，∴p是真命题，则￢p是假命题，故D错误，故选C.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查四种命题，命题的否定，不等式的基本性质，充要条件等知识点，属于中档题．6．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年第4页共22页龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．7．执行下面的程序框图，如果输入1a，1b，则输出的S（）A．54B．33C．20D．7【答案】C【解析】执行程序框图，1,1,0,0;2,2,3,2abSkSabk；7,5,8,4Sabk；20,13,21,6Sabk，结束循环，输出20S，故选C.8．函数在区间的图象大致为（）第5页共22页A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．已知函数sin(0.0,)fxAxA的部分图象如图所示，则函数cosgxAx图象的一个对称中心可能为（）第6页共22页A．5,02B．1,06C．1,02D．11,06【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知23A，又6282T，即2πT=16ω，所以π8．则π23sin8fxx，图象过点6,0，则3πsin04，即3ππ4k，所以3ππ4k，又，则π4．故ππ23sin48gxx，令ππππ482xk，得322xk，令1k，可得其中一个对称中心为1,02．故本题答案选C．10．在平面直角坐标系xOy中,已知点3,0A,1,2B,动点P满足OPOAOB,其中,0,1,1,2,则所有点P构成的图形面积为()A．1B．2C．3D．23【答案】C【解析】以OAOB，为邻边作平行四边形OACB，∵OPOAOB,其中,0,1,1,2,P点位于ABC内部（包含边界）．∴所有点P构成的图形面积为13232ABCS．故选C.第7页共22页11．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，设为抛物线上的动点，则的最大值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线方程为：y2＝2px（p＞0），可得：焦点F（，0），由抛物线的定义可得，化简再换元，利用基本不等式求得最大值．【详解】由抛物线方程为：y2＝2px（p＞0），可得：焦点F（，0），设M（m，n），则n2＝2pm，m＞0，设M到准线x的距离等于d，则．令pmt，t，则m，∴（当且仅当t时，等号成立）．故的最大值为，故选：D．【点睛】本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出第8页共22页，再利用基本不等式，综合性强．12．若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形，AB交y轴于C,且则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用把B的坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a后构造函数h（x），利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．【详解】设A（x1，y1），y1＝f（x1），B（x2，y2），y2＝g（x2）＝﹣x23+x22（x＜0），又，则，x2＝﹣2x1，∴．，，由题意，，即0，∴，∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，则．第9页共22页设h（x），则h′（x），令,则u′（x）==0在e﹣1＜x＜e2﹣1恒成立，所以单增，所以=0，∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，则，即4e-2＜a．∴实数a的取值范围是．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．二、填空题13．已知平面向量若与的夹角为，且，则实数______.【答案】【解析】根据向量垂直的定义及等价条件建立方程关系进行求解即可．【详解】∵向量（2，1），（2，x），∴2（6，1+2x），（0，1﹣x），∵（2）⊥（），∴（2）•（）＝0，第10页共22页则（1+2x）（1﹣x）＝0，得x或x＝1，又x=1时，，又有条件，根据向量垂直的定义，当x=1时，，舍去，故答案为：．【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟知向量垂直的坐标公式以及向量垂直的定义是解决本题的关键．14．等差数列的公差是2，若成等比数列，的前项和，则的前项和是_________.【答案】【解析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得，进而得到=-，再利用裂项相消求和的方法求得结果.【详解】由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴Sn＝na1d，＝2n2＝n（n+1），=-，∴的前项和为1-++-+……+-=1-=，故答案为.【点睛】第11页共22页本题考查等差数列的性质和求和公式，考查了裂项相消求和的方法，属基础题．15．过点作圆的两条相互垂直的弦和，则四边形的最大面积：_________________.【答案】6【解析】设点,设圆心C到直线AB、EF的距离分别为d1，d2，则d12+d22＝|CN|2，由N坐标求出d12+d22的值，表示出|EF|与|AB|，进而表示出S，利用基本不等式求出最大值即可；【详解】设点,设圆心C到直线AB、EF的距离分别为d1，d2，则d12+d22＝|CN|2，∴|AB|＝22，|EF|＝22，∴S|AB|•|EF|＝24﹣d12+4﹣d22＝8，当且仅当2﹣d12＝2﹣d22=，即d1＝d2时取等号，则四边形AEBF的面积最大值为；故答案为6.【点睛】本题考查四边形面积的最大值和最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质和均值定理的合理运用．16．是上可导的奇函数，是的导函数.已知时不等式的解集为，则在上的零点的个数为___________.【答案】【解析】令，则，又∵时，，∴，在上单调递增，又∵，∴，不等式等价于，即，，解得，第12页共22页故，又∵，故在区间内的零点为，即2个零点，故答案为2.三、解答题17．在中，内角，，所对的边长分别是，，．（1）若，，且的面积为，求，的值；（2）若，试判断的形状．【答案】（1）a＝2，b＝2（2）等腰三角形或直角三角形【解析】试题分析：（1）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（2）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论．试题解析：（1）∵c＝2，，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，∴ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.（2）由sinC＋sin（B－A）＝sin2A，得sin（A＋B）＋sin（B－A）＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·（sinA－sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【考点】正弦定理；三角形的形状判断18．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，90ABCBAD，第13页共22页4ADAP，2ABBC，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求的值．【答案】（1）63（2）1【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立