等差及等比数列定义及其性质(精)

等差及等比数列定义及其性质知识要点解法七：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210nmaadnm1、数列的单调性：(等差数列)（1）当d0时，为递增数列；sn有最小（2）当d0时，为递减数列;sn有最大(3)当d=0时，为常数列。（等比数列)（1)当0q1,a10或q1,a10时，为单调增数列。（2）当q1,a10或0q1,a10时，为单调减数列。(3)当q=1时，为常数列；(4)当q0时，为摆动数列。解：解：【点评】求等差数列的前n项和Sn的最大(小)值的基本方法有两种：一是求使an0(an0)且an+10(an+10)的正整数n值；二是Sn是等于n的二次函数(d≠0)，利用二次函数的最值求法(如配方法)．解题时应注意n∈N*．A7.等差数列｛an｝前项和sn若(s8-s5)(s8-s4)0则()A∣a6∣∣a7∣B∣a6∣=∣a7∣C∣a6∣∣a7∣Da6=0等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和解法一：将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+n(n-1)/2d,得：1002)12(22302)1(11dmmmadmmma2102)13(33,2010,4013212dmmmaSmmamdm解得解法二：由等差数列{an}的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）.将Sm=30,S2m=100代入，得mBmAmBmABmAm10201002)2(30222∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法三：根据等差数列性质知：Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有：2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210解法四：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210例2．若数列成等差数列，且sn=m,sm=n,(m≠n)求sm+n．2nSAnBn22(1)(2)AnBnmAmBmn解：设，则(1)(2)22()()nmAnmBmnmn()1mnAB2()()()nmSnmAnmBnm得：1.等差数列｛an｝若an=m,am=n(m≠n),则am+n=02.等差数列｛an｝若sn=m,sm=n(m≠n),则sm+n=-(m+n)3.等差数列｛an｝sn=sm(m≠n)则sm+n=04.｛an｝｛bn｝均为等差数列,且前n项和分别为sn与Tn则am/bm=s2m-1/T2m-1(11).定义一种运算*,n∈N*.满足下列运算性质:(1)1*1=1,(2)3(n*1)=(n+1)*1则n*1=()A(3n-1)/2B3nC3n-1D(3n-1)/2等差数列｛an｝的公差d0,a12=a112则数列的前n项和sn取最大的项数n是()A5B6C5或6D6或73已知等比数列的首项为8，sn是其前n项的和某同学计算得到s2=20,s3=36,s4=65，后来该同学发现了一个数算错了，则该数为＿设｛an｝是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a2a5a8…a29的值为()A210B220C215D2164.已知等比数列｛an｝中a5=1/2,a9=8,则a6a7a8的值是6.三个数a,b,c成等比数列，且a+b+C=m(m0)，则b的取值范围是()A[0,m/3]B[-m,-m/3]C(0,m/3)D[-m,0)∪(0,m/3]在数列｛an｝中an+1=can（c为非零常数）且前n项和sn=3n+k则实数k等于等差数列｛an｝中，sn是其前项和,a1=-2008,s2007/2007-s2005/2005=2，则S2008=A-2006B-2008C2006D2008各项均为正数的等比数列｛an｝前项和为sn，若s10=10,s30=70,则s40=等于A150B-200C150或-200D400或-50见书85页例1设等差数列｛an｝的前项和为sn,已知s7=7,s15=75,Tn为数列｛sn/n｝的前项和,求Tn等差数列前n项和与通项an关系解题通法：基本量的应用1.利用等差数列性质解题证明方法2：例3．等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，，求其项数和中间项.11a11a①②③