2012高中数学_第2章2.2.1第二课时_等差数列的性质_课件_新人教B版必修5

第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，通常用字母d表示.2．等差数列的通项公式：_______________.公差an＝a1＋(n－1)d知新益能1．等差中项(1)若a，b，c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，且b＝______；(2)a，b，c成等差数列______2b＝a＋c；(3)用递推关系an＋1＝12(an＋an＋2)给出的数列也是等差数列，an＋1称为_________的等差中项．a＋c2an，an＋2思考感悟1．两个数a，b的等差中项唯一吗？提示：唯一．2．等差数列的性质(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则am＋an＝_______.(2)下标成等差数列的项(ak，ak＋m，ak＋2m，…)仍组成_________．(3)数列{λan＋b}，(λ，b为常数)仍为_________.(4){an}和{bn}均为_________，则{an±bn}也是等差数列．(5){an}的公差为d，则d0⇔{an}为_____数列；d0⇔{an}为_____数列；d＝0⇔{an}为___数列.ap＋aq等差数列等差数列等差数列递增递减常(6)设{an}是公差为d的等差数列，那么an＝am＋________或d＝_______(m，n∈N＋)．本性质是通项公式的推广，通常适用于“已知等差数列某一项(或某几项)，求数列中另一项”这类题目．应用性质应注意，n与m的大小关系是不确定的，当n≤m时，性质仍然成立．(7)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于_____________．an－amn－m(n－m)d首末两项的和思考感悟2．若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？提示：不一定．例如在等差数列an＝2中，m，n，p，q可以取任意正整数，不一定有m＋n＝p＋q.3．等差数列的设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)．(2)对称设法：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….课堂互动讲练等差数列性质的应用考点突破例1【分析】解答本题既可以用等差数列的性质，也可以用等差数列的通项公式．等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.【解】法一：根据题意设此数列首项为a1，公差为d，则：a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36，∴4a1＋22d＝36,2a1＋11d＝18，∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18.法二：由等差数列性质得：a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.【点评】法一设出了a1、d，但并没有求出a1、d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想．法二运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p,q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.自我挑战1已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：法一：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.法二：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为－8，求这四个数．【分析】由题目可获取以下主要信息：①根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；巧设等差数列例2②四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．【解】(1)法一：设等差数列的等差中项为a,公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24.化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，所以三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得(1－32d)(1＋32d)＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.【点评】利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．自我挑战2已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两项之积比中间两数之积小18，求这四个数．解：设成等差数列的四个数依次为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.由已知条件得(a－3d)·(a＋3d)－(a－d)·(a＋d)＝－18.解得d＝±32，又知(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，化简得4a2＋20d2＝94，得a＝±72，(1)当d＝32，a＝72时，这四个数为－1,2,5,8.(2)当d＝32，a＝－72时，这四个数为－8，－5，－2,1.(3)当d＝－32，a＝72时，这四个数为8,5,2，－1.(4)当d＝－32，a＝－72时，这四个数为1，－2，－5，－8.构造新数列求通项例3已知数列{an}的各项均为正数，且满足an＋1＝an＋2an＋1，a1＝2，求an.【分析】由递推公式可得an＋1－an＝1，{an}是等差数列，先求an再求an.【解】由an＋1＝an＋2an＋1，得an＋1＝(an＋1)2.又因为{an}各项为正数，所以an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，所以{an}为以a1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝2＋(n－1)·1，所以an＝(n＋2－1)2.【点评】观察数列递推公式的特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列的问题．常用的方法有：平方法，倒数法，同除法，开平方法等．自我挑战3已知数列{an}中，a1＝12，且an＋1＝3anan＋3，求an.解：∵an＋1＝3anan＋3，∴1an＋1＝1an＋13，即1an＋1－1an＝13.∴{1an}是首项为2，公差为13的等差数列．∴1an＝2＋(n－1)×13＝n＋53，∴an＝3n＋5.方法感悟等差数列的一些重要结论(1)公差为d的等差数列，各项同加一常数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.(2)公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd.(3)数列{an}成等差数列，则有am＝an＋(m－n)d，m，n∈N＋，ap＋aq＝ap＋k＋aq－k，q，p，k∈N＋.(4)公差为d的等差数列，取出等距离的项，构成一个新的数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差)．(5)m个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的数列，此数列仍是等差数列，其公差等于原来m个数列公差之和．