高考数学专题6_1 数列的通项公式与求和试题 理(含解析)

专题6.1数列的通项公式与求和【三年高考】1.【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】11212.【2016高考山东理数】已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.【解析】（Ⅰ）由题意知当2n时，561nSSannn，当1n时，1111Sa，所以56nan.设数列nb的公差为d，由322211bbabba，即dbdb321721111，可解得3,41db，所以13nbn.3．【2016高考江苏卷】记1,2,100U…，.对数列*nanN和U的子集T，若T,定义0TS;若12,,kTttt…，，定义12+kTtttSaaa….例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT…，，求证：1TkSa；（3）设,,CDCUDUSS,求证：2CCDDSSS.【解析】（1）由已知得1*13,nnaanN.于是当{2,4}T时，2411132730rSaaaaa.又30rS，故13030a，即11a.所以数列{}na的通项公式为1*3,nnanN.（2）因为{1,2,,}Tk，1*30,nnanN，所以1121133(31)32kkkrkSaaa.因此，1rkSa.（3）下面分三种情况证明.①若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS.②若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令UECCD，UFDCC则E，F，EF.于是CECDSSS，DFCDSSS，进而由CDSS，得EFSS.设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl.由（2）知，1EkSa，于是1133lklFEkaSSa，所以1lk，即lk.又kl，故1lk，从而1121131133222llkEFlaSSaaa，故21EFSS，所以2()1CCDDCDSSSS，即21CCDDSSS.综合①②③得，2CCDDSSS.4．【2016高考天津理数】已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na的等差中项.(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；(Ⅱ)设22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd5．【2015高考新课标2，理16】设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．【答案】1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．6.【2015江苏高考，11】数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212nnnnnnnaaaaaaaann，所以1011112202(),2(1),11111nnnSSannnn7.【2015高考新课标1，理17】nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2nnaa=43nS.（Ⅰ）求{na}的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa,求数列{nb}的前n项和.8.【2015高考山东，理18】设数列na的前n项和为nS.已知233nnS.（I）求na的通项公式；（II）若数列nb满足3lognnnaba，求nb的前n项和nT.【解析】（I）因为233nnS，所以，1233a，故13,a当1n时，11233,nnS此时，1122233,nnnnnaSS即13,nna所以，13,1,3,1,nnnan（II）因为3lognnnaba，所以113b，当1n时，11133log313nnnnbn，所以1113Tb当1n时，12112311323133nnnTbbbbn，所以01231132313nnTn，两式相减，得012122333133nnnTn11121313313nnn1363623nn，所以13631243nnnT，经检验，1n时也适合，综上可得：13631243nnnT9.【2015高考重庆，理22】在数列na中，21113,0nnnnaaaaanN（1）若0,2,求数列na的通项公式；（2）若0001,2,1,kNkk证明：010011223121kakk10．【2014高考广东理第19题】设数列na的前n项和为nS，满足21234nnSnann，nN，且315S.（1）求1a、2a、3a的值；（2）求数列na的通项公式.11．【2014高考湖南理第20题】已知数列na满足111,nnnaaap,*nN.(1)若na为递增数列,且123,2,3aaa成等差数列,求P的值;(2)若12p,且21na是递增数列,2na是递减数列,求数列na的通项公式.【解析】(1)因为数列na为递增数列,所以10nnaa,则11nnnnnnaapaap,分别令1,2n可得22132,aapaap2231,1apapp,因为123,2,3aaa成等差数列,所以21343aaa224113130ppppp13p或0,当0p时,数列na为常数数列不符合数列na是递增数列,所以13p.(2)由题可得122122212121111,222nnnnnnnnnaaaaaa,因为21na是递增数列且2na是递减数列,所以2121nnaa且222nnaa,则有22221221222121nnnnnnnnaaaaaaaa,因为12．【2014高考全国1第17题】已知数列na的前n项和为nS，11a，0na，11nnnaaS，其中为常数，（I）证明：2nnaa；（II）是否存在，使得na为等差数列？并说明理由.【解析】（I）由题设，11nnnaaS，1211nnnaaS．两式相减得，121()nnnnaaaa．由于10na，所以2nnaa．【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题,对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出,高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续两年大题没涉及数列,故预测2017年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．【2017年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系．【考点1】数列的概念与表示【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．4．na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1.数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2.观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n的关系”，从而确定数列的通项公式．【考点针对训练】1.【2016年4月河南八市高三质检卷】已知*1log(2)()nnannN，观察下列算式：1223lg3lg4log3log42lg2lg3aa；123456237lg3lg4lg8log3log4log83lg2lg3lg7aaaaaa，…；若*1232016()maaaamN，则m的值为（）A．201622B．20162C．201622D．201624【答案】C【解析】由题意：1223lg3lg4log3log42lg2lg3aa；123456237lg3lg4lg8log3log4log83lg2lg3lg7aaaaaa，…；12345613142315lg3lg4lg16log3log4log1616,lg2lg3lg15aaaaaaaa…；据此可知，*1232016()maaaamN，则m的值为2016222.数列,817,275,31,31的一个通项公式是A．nnann312)1(1B．nnann312)1(C．nnnna312)1(1D．nnnna312)1(【答案】C.【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法，若已知数列的前n项和nS与na的关系，求数列na的通项na可用公式2111nSSnSannn求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，