高考数学二轮复习 第九章 平面解析几何 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(含试题)

1【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习第九章平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系理（含2014试题）理数1.(2014福建,6,5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件[答案]1.A[解析]1.当k=1时,l:y=x+1,由题意不妨令A(-1,0),B(0,1),则S△AOB=×1×1=,所以充分性成立;当k=-1时,l:y=-x+1,也有S△AOB=,所以必要性不成立.2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()A.πB.πC.(6-2)πD.π[答案]2.A[解析]2.由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=.∴圆C面积的最小值为π=π.故选A.3.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，6)过点（－4，0）作直线L与圆x2+y2+2x－4y－20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x-12y+20=02C.5x-12y+20=0或x+4=0D.5x+12y+20=0或x+4=0[答案]3.D[解析]3.圆x2+y2+2x－4y－20=0的圆心为（－1,2），半径为5，当|AB|=8时，可得圆心到直线L的距离为3.显然直线L的斜率不存在时，满足题意，此时直线方程为x+4=0；当斜率存在时，设直线L的方程为，由题意可得，解得此时直线方程为5x+12y+20=0，综上可得答案为D.4.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，7)过点（)作直线与圆交于A、B两点，如果,则直线的方程为（）(A)(B)(C)或(D)或[答案]4.C[解析]4.因为圆的圆心为（1,2），半径为5.当弦AB的长为8时，可得圆心到直线的距离为3，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由题意得，解得k=0或，所以所求直线的方程为或.5.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,12)双曲线的左、右焦点分别为，,过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点.若，则双曲线的离心率是（）[答案]5.C[解析]5.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，，故.6.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,10)在平面直角坐标系中，抛物线:3的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积，则（）A.2B.4C.6D.8[答案]6.B[解析]6.因为的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外接圆半径，故=，故.7.(2014广东广州高三调研测试，7)若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条[答案]7.C[解析]7.由已知可转化为圆的切线问题。以为圆心，1为半径作圆；以为圆心，2为半径作圆，显然这两圆外切，则这两个圆的外公切线有2条，内公切线有1条；从而满足条件的直线有3条.8.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，7)直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）A.B.C.D.[答案]8.C[解析]8.如图，设直线与圆交于、，于，所以，因为圆心到直线的距离，圆的半径为2，所以，即，所以.49.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10）给定圆:及抛物线：过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,则直线的斜率为（）A．B．C．D．[答案]9.C[解析]9.圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）.由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点，根据抛物线的定义可知，可得.显然直线l的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得.10.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个[答案]10.C[解析]10.焦点F的坐标为（1,0），准线为x=－1，由圆与相切可设圆的方程为:，则由题意可得①、②两式联立得，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.511.(2014广西桂林中学高三2月月考，3)若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)[答案]11.D[解析]11.由配方得，所以圆心坐标为，若直线始终平分圆的周长，则直线必过点，所以，所以，即，当且仅当，即是取等号.故的取值范围是是.12.(2014广州高三调研测试,7)若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]12.C[解析]12.依题意作图，满足条件的直线有3条.13.(2014湖北黄冈高三期末考试)命题，使；命题直线与圆相切.则下列命题中真命题为（）A.B.C.D.[答案]13.A6[解析]13.命题的真假判断.对命题，当时，成立，则命题为真；又圆心到直线的距离为圆的半径，则命题真，故为真.14.(2014大纲全国,15,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.[答案]14.[解析]14.依题意设过点(1,3)且与圆x2+y2=2相切的直线方程为y-3=k(x-1),即kx-y-k+3=0.由直线与圆相切得=,即k2+6k-7=0.解得k1=-7,k2=1,设切线l1,l2的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨设tanθ10,则tanθ1=-7,tanθ2=1,从而tan(θ1-θ2)==.15.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.[答案]15.4±[解析]15.易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为,即=,解得a=4±.经检验均符合题意,则a=4±.16.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.[答案]16.2[解析]16.由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此或故a2+b2=1+1=2.17.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为________.[答案]17.7[解析]17.易知圆心(2,-1),r=2,故圆心到直线的距离d==,∴弦长为2=2=.18.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.[答案]18.(2,+∞)[解析]18.函数g(x)=的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴上及其上方的部分.由题意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0,f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))的中点,又h(x)g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=相离且b0.即解之得b2.所以实数b的取值范围为(2,+∞).19.(2014山西太原高三模拟考试（一），14)已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是.[答案]19.[解析]19.圆C的圆心为（1,1），半径为1，圆心C到直线的距离为.四边形PACB的面积等于△CAP的面积的二倍，其值为8，欲使其值最小只需使PC的长度最小即可，结合圆的性质可得PC的长度的最小值为即为圆心C到直线的距离，所以四边形PACB的面积的最小值为.20.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,12)圆的圆心到直线的距离_________________.[答案]20.3[解析]20.因为，所以，即圆心为，所以.21.(2014福州高中毕业班质量检测,13)若直线与圆相交于、两点,则的值为.[答案]21.0[解析]21.因为圆心到直线的距离为，圆的半径为2，所以弦长，所以是直角三角形，且，所以.22.(2014北京东城高三第二学期教学检测，12)已知圆的方程为,设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为_______________.[答案]22.[解析]22.圆的方程可化为，故圆心为，半径为.由题意知，且为圆的直径长为，最短弦的中点为，由勾股定理可算出.故.23.(2014重庆七校联盟,11)已知圆的方程为，直线的方程为，若圆与直线相切，则实数.9[答案]23.或[解析]23.圆与直线相切，，解得或.24.(2014天津七校高三联考,9)直线被圆截得的弦长为__________[答案]24.4[解析]24.由得，圆系的坐标为，半径为，直线被圆截得的弦长为.25.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求直线l和圆C的普通方程;(Ⅱ)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(Ⅱ)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤2.26.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?[答案]26.查看解析[解析]26.(1)解法一:如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.10由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b),则kBC==-,kAB==.解得a=80,b=120.所以BC==150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r==.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得10≤d≤35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:如图,延长OA,CB交于点F.11因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,从而AF=OF-OA=.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是15