高考数学二轮复习 第十二章 概率与统计 离散随机变量及其分布列、均值与方差 理(含试题)

1【科学备考】（新课标）高考数学二轮复习第十二章概率与统计离散随机变量及其分布列、均值与方差理（含2014试题）理数1.(2014陕西,9,5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a[答案]1.A[解析]1.∵x1,x2,…,x10的均值=1,方差=4,且yi=xi+a(i=1,2,…,10),∴y1,y2,…,y10的均值=(y1+y2+…+y10)=(x1+x2+…+x10+10a)=(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,其方差=[(y1-)2+(y2-)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]==4.故选A.2.(2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），4)等差数列的公差为1，随机变量ξ等可能的取值，则方差为()[答案]2.B[解析]2.由已知可得：均值，所以=，选B.3.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=________.[答案]3.[解析]3.设P(ξ=1)=p,则P(ξ=2)=-p,从而由E(ξ)=0×+1×p+2×=1,得p=.2故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.4.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，14）如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为．[答案]4.[解析]4.设被污损的数字为x().甲的平均分为，乙的平均分为，解得，所以x可以取3、4、5、6、7、8、9共7个数值，所以所求概率为.5.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.[答案]5.查看解析[解析]5.记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(Ⅰ)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)3=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.(12分)6.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)[答案]6.查看解析[解析]6.(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P==.(Ⅱ)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.7.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓4出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.[答案]7.查看解析[解析]7.(Ⅰ)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=10)=××=,P(X=20)=××=,P(X=100)=××=,P(X=-200)=××=.所以X的分布列为X1020100-200P(Ⅱ)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-=.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(Ⅲ)X的数学期望为EX=10×+20×+100×-200×=-.这表明,获得分数X的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.8.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.5(Ⅰ)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(Ⅱ)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.[答案]8.查看解析[解析]8.(Ⅰ)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意,得P(X=60)==,即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60.P(X=60)=,P(X=20)==,即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20×0.5+60×0.5=40(元).(Ⅱ)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)=20×+60×+100×=60,X1的方差为D(X1)=(20-60)2×+(60-60)2×+(100-60)2×=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X24060806PX2的期望为E(X2)=40×+60×+80×=60,X2的方差为D(X2)=(40-60)2×+(60-60)2×+(80-60)2×=.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.注:第(Ⅱ)问,给出方案1或方案2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给3分;进一步比较方差,说明应选择方案2,再给2分.9.(2014江西,21,14分)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数.A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记ξ=a2-a1,η=b2-b1.(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由.[答案]9.查看解析[解析]9.(1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有=20种,所以ξ的分布列为ξ2345PEξ=2×+3×+4×+5×=.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2.又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,P(C)==,(3)由(2)知当n=2时,P()=,因此P(C)P(),7而当n≥3时,P(C)P().理由如下:①用数学归纳法来证明:1°当n=3时,①式左边=4×(2+)=4×(2+2)=16,①式右边==20,所以①式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时①式也成立.综合1°,2°得,对于n≥3的所有正整数,都有P(C)P()成立.10.(2014湖北,20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?[答案]10.查看解析[解析]10.(Ⅰ)依题意,p1=P(40X80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X120)==0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4××=0.9477.(Ⅱ)记水电站年总利润为Y(单位:万元).(1)安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.(2)安装2台发电机的情形.依题意,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40X80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8;由此得Y的分布列如下:8Y420010