高考数学二轮复习专项：排列、组合、二项式定理与概率统计

天利考试信息网天时地利考无不胜湖南师大附中高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1.袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码,设号码为n的球的重量为344342nn(克).这些球以等可能性(不受重量,号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球,求其号码是3的倍数的概率.（Ⅱ）如果任意取出1球,求重量不大于号其码的概率;（Ⅲ）如果同时任意取出2球,试求它们重量相同的概率.2.从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试.每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数。（1）求的分布列，期望及方差；（2）求的分布列，期望及方差；4.某大型商场一个结算窗口，每天排队结算的人数及相应概率如下：排队人数0—56—1011—1516—2021—2525以上概率0.1a0.250.250.20.05（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场天利考试信息网天时地利考无不胜就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5.某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6.某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。7.甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5.⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？8.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记xyx2．（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．天利考试信息网、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4。各部门是否占线相互之间没有影响。假设有部电话占线，试求随机变量的概率分布和它的期望。10.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?11.如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．（I）求X的均值EX；（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)，内的概率．附表：10000100000()0.250.75kttttPkCk2424242525742575天利考试信息网天时地利考无不胜()Pk0.04030.04230.95700.959012.四个纪念币A、B、C、D,投掷时正面向上的概率如下表所示(01)a.纪念币ABCD概率1212aa这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.(1)求的分布列及数学期望；(2)在概率()(0,1,2,3,4)Pii中,若(2)P的值最大,求a的取值范围.13.数学试题中共有10道选择题每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分”，某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（1）得50分的概率；（2）得多少分的可能性最大.天利考试信息网甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望；(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).15.多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为53。已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，（Ⅰ）求中国女排取胜的概率（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数，求的分布列及E（（Ⅰ）（Ⅱ）均用分数作答）16.某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA；（2）求的分布列及期望E．天利考试信息网有三张大小形状质量完全相同的卡片，三张卡片上分别写有0，1，2三个数字，现从中任抽一张，其上面的数字记为x，然后放回，再抽一张，其上面的数字记为y，记=xy，求：(1)的分布列；(2)的期望．18.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。（I）求前两次取出的都是二等品的概率；（II）求第二次取出的是二等品的概率；（III）用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求的分布列及数学期望。19.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就能正常工作，假定在某段时间内，每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内：（1）开关JA，JB恰有一个闭合的概率；（2）线路正常工作的概率。20.在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲天利考试信息网，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．21.沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（即通过绿灯）的概率分别为31，21，32，对于该大街上行驶的汽车，求：（Ⅰ）在三个地方都不停车的概率；（Ⅱ）在三个地方都停车的概率；（Ⅲ）只在一个地方停车的概率．答案：1.（Ⅰ）所以所求概率933010（Ⅱ）由244334nnn,可解得411n由题意知n=4,5,6,7,8,9,10,11,共8个值,所以所求概率为843015;（Ⅲ）设第m号和第n号的两个球的重量相等,其中nm,当344334434422nmnm时,可以得到12nm,则),(nm(1,11),(2,10),…,(5,7),共5种情况,所以所求概率为8715230C.2.（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为天利考试信息网－6531036CC；（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为)531()53(223C333)53(C=12581；3.（1）的可能值为0，1，2若0表示没有取出次品，其概率为116)0(31231002CCCP；同理221)2(229)1(3121101231221012CCCPCCCP的分布列为012P11622922121221322911160E4415221)212(229)211(116)210(222D（2）的可能值为1、2、3，显然3116)0()3(,229)1()2(,221)2()1(PPPPPP的分布列为123P221229116253)3(EEE4415)1(2DD4.（1）依题意知，所求概率为：P=1-0.2-0.05=0.75∴每天不超过20人排队结算的概率是0.75（2）超过15人排队的概率为：0.25+0.2+0.05=21天利考试信息网天中，没有出现超过15人结算的概率为：707)21(C1周7天中，有一天超过15人结算的概率为：617)21)(21(C1周7天中，有二天超过15人结算的概率为：5227)21()21(C75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707CCC∴该商场需要增加结算窗口。5.设事件A、B、C分别表示“某一小时内甲、乙、丙柜面不需要售货员照顾”，则A、B、C相互独立，且7.0)(,8.0)(,9.0)(CPBPAP.(1)设事件D表示“某一小时内只有丙柜面不需要售货员照顾”、则事件CBAD，且事件CBA,,相互独立，故)()(CBAPDP216.03.08.09.0)()()(CPBPAP.(2)设事件E表示“某一小时内三个柜面中最多有一个需要售货员照顾”，则事件CBACBACBACBAE，故)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPEP3.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0902.0.(3)设事件F表示“某一小时内三个柜面中至少有一个需要售货员照顾”，则事件CBAF，故)()()()()(CPBPAPCBAPFP504.07.08.09.0，所以，496.0504.01)()(FPFP.6.设走2阶的步数为x，走1阶的步数为y，则有347112yxyxyx(1)3512123567343724CA(2)P(ζ=1)=3518235113723142437CCCCP,C天利考试信息网(ζ=3)=3544351237143724CCP,CA随机事件ζ的分布列是ξ1234P35135183512354ξ的期望是Eξ=351×1+3518×2+351