2017-2018学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题(解析版)

第1页共18页2017-2018学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题一、单选题1．的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可得出．【详解】解：．故选：B．【点睛】本题考查了诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题．2．已知向量，，若，则x的值为A．1B．2C．D．5【答案】A【解析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【详解】解：向量，，若，可得，解得．故选：A．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，是基本知识的考查．3．若圆关于直线对称，则a的值为A．B．C．0D．4【答案】D【解析】根据题意，圆的圆心C在直线上，求出C的坐标第2页共18页并代入直线，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【详解】解：圆关于直线对称，圆心C在直线上，求得C的坐标，可得，解之得，故选：D．【点睛】本题给圆C关于已知直线对称，求参数a的值着重考查了圆的标准方程、圆的性质和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．4．为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是A．23B．27C．31D．33【答案】C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中，18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31,故选C.5．已知是第四象限角，且，则A．B．C．D．【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得的值．【详解】解：是第四象限角，且，则，故选：C．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．6．要得到曲线，只需把函数的图象第3页共18页A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：把函数的图象向右平移个单位，可得曲线的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称．（2）在进行三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少．7．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为第4页共18页A．B．0C．D．【答案】A【解析】模拟运行程序框图，即可得出程序运行后输出的算式，再根据余弦函数的周期性求得S的值．【详解】模拟运行如图所示的程序框图知，该程序运行后计算并输出．故选：A．【点睛】本题考查了利用程序运算求三角函数和的应用问题，是基础题．8．从集合3，4，中随机抽取一个数a，从集合6，中随机抽取一个数b，则向量与向量平行的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出基本事件总数，当向量与向量平行时，，利用列举法求出满足向量与向量平行的基本事件有3个，由此能求出向量与向量平行的概率．【详解】从集合3，4，中随机抽取一个数a，从集合6，中随机抽取一个数b，基本事件总数，第5页共18页当向量与向量平行时，，解得，满足向量与向量平行的基本事件有：，，，共3个，则向量与向量平行的概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．过原点的直线l与圆相交所得的弦长为，则直线l的斜率为A．2B．1C．D．【答案】C【解析】由已知画出图形，可知斜率不存在是满足题意，当直线l的斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求直线的斜率．【详解】如图，当直线l的斜率不存在时，直线方程为，此时弦长为；当直线l的斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，第6页共18页由，解得．直线l的斜率为．故选：C．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.10．如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：设圆的半径为，故选C．【考点】1、圆的面积公式；2、扇形的面积公式；3、几何概型．11．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用正弦函数的单调性的性质求解即可．【详解】第7页共18页函数在上单调递减，，．解得：．当时，可得．故选：D．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质的应用属于中档题．12．设，，，，且，则向量在上的投影的取值范围A．B．C．D．【答案】B【解析】首先判定，进一步利用向量的共线的充要条件求出向量的投影的范围．【详解】由于：，则：，由于：，，则：．当，，由于，且，则：P、A、B三点共线．故：当P与A重合时，投影为2．故：向量在上的投影的取值范围为第8页共18页故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三点共线的应用，向量数量积的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．二、填空题13．在空间直角坐标系中，点3，到y轴的距离为______．【答案】【解析】由空间直角坐标系中点y，到y轴的距离计算可得解．【详解】在空间直角坐标系中，点y，到y轴的距离．点3，到y轴的距离．故答案为：．【点睛】本题考查空间中点到y轴的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．已知，为单位向量，且，所成角为，则为______．【答案】【解析】根据平面向量的数量积求模长即可．【详解】，为单位向量，且，所成角为，，，．第9页共18页故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积求模长的应用问题，是基础题．15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为______小时．【答案】【解析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，再除以总人数即可．【详解】由题意，，故答案为：【点睛】本小题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题．16．已知，且，则当y取得最大值时______．【答案】【解析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得最大值，可得的值，从而可得．【详解】函数，其中．第10页共18页当y取得最大值时，可得，则，那么，即，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最值，考查了三角函数的诱导公式的应用.辅助角公式：其中.三、解答题17．已知平面向量，．当k为何值时，向量与垂直；当时，设向量与的夹角为，求及的值．【答案】（1）；（2）.【解析】先求出，再由向量与垂直，能求出k．当时，，，由此能求出结果．【详解】第11页共18页平面向量，．，向量与垂直，，解得．当时，，向量与的夹角为，，，，．【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人．（1）求该组织的人数．第12页共18页（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【答案】（1）人；（2）.【解析】根据频数频率样本容量，频率对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；先计算出第3，4，5组中每组的人数，选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【详解】由题意：第2组的人数：，得到：，故该组织有200人第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为．第3，4，5组共有60名志愿者，利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，第5组的1名志愿者为．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：，，，，，，，，，，，，，，，共有15种．第13页共18页其中第3组的3名志愿者，，，至少有一名志愿者被抽中的有：，，，，，，，，，，，，共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.19．某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据2，，如表所示：试销单价元456789产品销量件90848380q68已知．求表格中q的值；已知变量x，y具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程参考数据；用中的回归方程得到的与对应的产品销量的估计值记为2，，当时，则称为一个“理想数据”试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”．【答案】（1）；（2）；（3），.第14页共18页【解析】根据题意计算，列方程求出q的值；计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程；根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为“理想数据”．【详解】根据题意，计算，解得；计算，，，关于x的回归方程是；回归方程为，，，是“理想数据”，，，不是“理想数据”，，，是“理想数据”．“理想数据”为，．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．20．函数．请把函数的表达式化成的形式，并求的最小正周期；求函数在时的值域．【答案】（1）；最小正周期；（2）.第15页共18页【解析】利用二倍角和辅助角公式化简即可，根据周期公式求解最小正周期；求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得在时的值域．【详解】函数的最小正周期．由可知，则故得函数在时的值域为．【点睛】本题考查的知识点是二倍角和辅助角公式化简能力以及三角函数的性质，求解执着于问题，难度不大，属于基础题．21．在平面内，已知点，圆C：，点P是圆C上的一个动点，记线段PA的中点为Q．求点Q的轨迹方程；若直线l：与Q的轨迹交于M，N两点，是否存在直线l，使得为坐标原点，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线l，使得，此时.【解析】设出点Q，根据Q是PA中点的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，根据P在圆上，得到Q轨迹方程；设，，将代入圆的方程，可得，由第16页共18页，得k的取值范围，利用根与系数的关系可得的k值．【详解】设，点P的坐标为，点，且Q是线段PA的中点，，，在圆C：上运动，，即；点Q的轨迹方程为；设，，将代入方程圆的方程，即，．由，得，，，，，即，解得舍，或．存在直线l，使得，此时．【点睛】本题考查了直线与圆相交关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．已知，．求当时，的值域；若函数在内有且只有一个零点，求a的取值范围．第17页共18页【答案】（1）；（2）.【解析】利用转化思想，设，，则，利用二次函数的性质可得值域．根据函数在内有且只有一个零点，即可得t范围，转化为二次函数的性质求a的取值范围．【