5.2 留数的计算方法

第二节留数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考2一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnnC0z)(zf设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:)(zfRzz00在nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域0zRzz00C:邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线312iczzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010CCnnzzzczzzcd)(d)(1010Czzfd)(积分0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)i2的系数洛朗级数中负幂项101)(zzczzficCd)(211即]),(Res[0zzf的留数在0)(zzf定义记作].),(Res[0zzf域内的洛朗级数中负.))(101的系数幂项zzc为中心的圆环在即0)((zzf)(0zfz为函数的一个孤立奇点,则沿Rzzz000的某个去心邻域在内包含0z的任意一条简单闭曲线C的积分Czzfd)(的值除i2后所得的数称为.)(0的留数在zzf以如果5二、利用留数求积分说明:留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理)(zf在区域D内除有限个孤nzzz,,,21外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末.]),(Res[2d)(1nkkCzzfizzf立奇点函数6证nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)(21zzfCd)(zzfizzfizzfinCCCd)(21d)(21d)(2121]),(Res[]),(Res[]),(Res[21nzzfzzfzzf.]),(Res[1即可得nkkzzf[证毕]两边同时除以且i21z2znzDC...如图72.留数的计算方法(1)如果0z为)(zf的可去奇点,.0]),(Res[0zzf则).()(lim]),(Res[000zfzzzzfzz如果为的一级极点,那末0z)(zf•规则1成洛朗级数求.1c(2)如果0z为的本性奇点,)(zf(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf)(zf展开则需将8如果为的级极点,0z)(zfm)].()[(ddlim)!1(1]),(Res[01100zfzzzmzzfmmmzz•规则2证2020)()()(zzczzczfmm)()(010101zzcczzc101010)()()()(mmmmzzczzcczfzz10100)()(mmzzczzc那末9,)!1()]()[(ddlim10110cmzfzzzmmmzz10]),(Res[czzf所以+(含有正幂的项)0zz1)!1(cm)].()[(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz)]()[(dd011zfzzzmmm两边求1m阶导数,[证毕]得10•规则3如果,0)(,0)(,0)(000zQzQzP设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z都解析，证0)(,0)(00zQzQ因为0z所以的一级零点,为)(zQ)(1zQ0z的一级极点.为那末0z为的一级极点,)(zf.)()(]),(Res[000zQzPzzf且有11解析且0z.0)()(00zzP在因此),(1)(10zzzzQ其中在解析且)(z0z,0)(0z0z所以为的一级极点,)(zf)()(lim]),([Res000zfzzzzfzz00)()()(lim0zzzQzQzPzz.)()(00zQzP.)()(1)(0zzPzzzf12四、典型例题例1求nzzezf)(在0z的留数.解阶极点，的是因为nzfz)(00,Resnzze所以.)!1(1nnznnnzzezzn110ddlim)!1(113例2求6sin)()()(zzzzQzPzf在0z的留数.分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0z是zzsin的三级零点由规则3得.sinddlim)!13(1]0),(Res[63220zzzzzzfz的三级极点，是所以)(0zfz计算较麻烦.14如果利用洛朗展开式求1c较方便:!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16czzz,!5!353zz解15说明:0z如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求1c来计算留数.66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!512.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.:6m1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取16例4计算积分,d)1(2zzzeCzC为正向圆周:.2z解zzzezzfzzd)1(lim]0),([Res20,)1(lim20zezz221)1()1(ddlim)!12(1]1),(Res[zzezzzfzz0z为一级极点,1z为二级极点,17zezzzddlim121)1(limzzezz,0zzzeCzd)1(2所以)01(2i]1),(Res[]0),(Res[2zfzfi.2i18被积函数14zz有四个一级极点i,1都在圆周2z的内部,所以Czzzd14]1),(Res[]1),(Res[2zfzfi]),(Res[]),(Res[izfizf由规则3,414)()(23zzzzQzP19Czzzd14.0414141412i20五、小结与思考本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复积分.21.2:,d)1(sin22正向计算zCzzzzC思考题22思考题答案22sin1.i放映结束，按Esc退出.