高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 正余弦定理的应用举例课件 文

第三章三角函数、解三角形第八节正余弦定理的应用举例能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲下载有关正余弦定理的实际应用问题，在高考试题中也常有出现，多以计算长度、高度、面积、角度等问题为考查点，多为选择题、填空题形式，也有以解答题形式出现.请注意高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01测量距离问题（重点的分型——师生共研）【调研1】(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35.所以sinA＝513，sinC＝45，从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为dm，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)．因为0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537时，d最小，所以乙出发3537分钟后，甲、乙两游客距离最短．(3)由BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(2014·四川卷)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析：根据已知的图形可得AB＝46sin67°，在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BCsin37°，所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m)．答案：60突破考点02测量角度问题（重点的分型——师生共研）实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________叫仰角，目标视线在水平线________叫俯角(如图a)．(2)方位角从________方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如点B的方位角为α(如图b)．(1)上方下方(2)正北【调研2】(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【解析】依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝CBsin∠CAB.得600sin45°＝CBsin30°，有CB＝3002，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝1006，则此山的高度CD＝1006m.【答案】1006求解高度问题应注意(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角或俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．解：(1)在△ABC中，∠ACB＝β－α，根据正弦定理得BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB，所以BC＝lsinαsinβ－α.(2)由(1)知BC＝lsinαsinβ－α＝24×sin15°sin30°＝12(6－2)米．在△BCD中，∠BDC＝π2＋π6＝2π3，sin∠BDC＝32，根据正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以CD＝24－83米．突破考点03测量角度问题（重点得分型——师生共研）【调研3】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解】设缉私船用th在D处追上走私船(如图)，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB.∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．