高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量基本定理及坐标表示课件

必考部分第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示[考纲考情]1.了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．课时作业主干知识·整合热点命题·突破主干知识·整合01课前热身稳固根基平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝__________．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．2．平面向量的坐标表示：(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对______叫做向量a的坐标，记作a＝______，其中____叫做a在x轴上的坐标，____叫做a在y轴上的坐标．(2)设―→OA＝xi＋yj，则向量―→OA的坐标(x，y)就是______的坐标，即若―→OA＝(x，y)，则A点坐标为______，反之亦成立．(O是坐标原点)答案1．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底2．(1)(x，y)(x，y)xy(2)A点(x，y)1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量―→AB，―→BC的夹角为∠ABC.()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2．下列各组向量：①e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)；②e1＝(3，5)，e2＝(6，10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(12，－34)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A．①B．①③C．②③D．①②③解析：②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②③中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．答案：A3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得m－n＝1，2m＋n＝1，所以m＝23，n＝－13.答案：23－13平面向量的坐标运算1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝____________________；2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB―→＝______________；3．若a＝(x，y)，则λa＝________；4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________．答案1．(x1±x2，y1±y2)2.(x2－x1，y2－y1)3．(λx，λy)4.x1y2＝x2y14．(2015·课标Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量―→AC＝(－4，－3)，则向量―→BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：根据题意得―→AB＝(3，1)，∴―→BC＝―→AC－―→AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.答案：A5．设a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．解析：∵λa＋b＝(λ＋2，2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.答案：2热点命题·突破02课堂升华强技提能平面向量基本定理及应用【例1】如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将―→OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设―→OA＝a，―→OB＝b.(1)用a和b表示向量―→OC，―→DC；(2)若―→OE＝λ―→OA，求实数λ的值．【解】(1)由题意知，A是BC的中点，且―→OD＝23―→OB，由平行四边形法则，得―→OB＋―→OC＝2―→OA，所以―→OC＝2―→OA－―→OB＝2a－b，―→DC＝―→OC－―→OD＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，―→EC∥―→DC，故设―→EC＝x―→DC.因为―→EC＝―→OC－―→OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，―→DC＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.【小结归纳】应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若―→AB＝λ―→AM＋μ―→AN，则λ＋μ＝()A.15B.25C.35D.45解析：因为―→AB＝―→AN＋―→NB＝―→AN＋―→CN＝―→AN＋(―→CA＋―→AN)＝2―→AN＋―→CM＋―→MA＝2―→AN－14―→AB－―→AM，所以―→AB＝85―→AN－45―→AM，所以λ＋μ＝45.答案：D平面向量的坐标运算【例2】(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．【解析】由题可得ma＋nb＝m(2，1)＋n(1，－2)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则有2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.【答案】－3【小结归纳】解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想.(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若―→AB＝(2，4)，―→AC＝(1，3)，则―→BD＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3，5)D．(2，4)解析：(1)12a＝12，12，32b＝32，－32，故12a－32b＝(－1，2)．(2)由题意得―→BD＝―→AD－―→AB＝―→BC－―→AB＝(―→AC－―→AB)－―→AB＝―→AC－2―→AB＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．答案：(1)D(2)B平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于()A．－2B.2C．－2或2D．0(2)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．(3)若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值等于________．解析：(1)因为a∥b，所以m2＝2，解得m＝－2或m＝2.(2)∵a与b方向相反，∴可设a＝λb(λ0)，∴a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)．(3)―→AB＝(a－2，－2)，―→AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以1a＋1b＝12.答案：(1)C(2)(－4，－2)(3)12【小结归纳】(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于―→AB与―→AC共线.(1)(2015·四川卷)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝()A．2B．3C．4D．6(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．解析：(1)∵a与b共线，∴2×6＝4x，∴x＝3.故选B.(2)解法1：由O，P，B三点共线，可设―→OP＝λ―→OB＝(4λ，4λ)，则―→AP＝―→OP－―→OA＝(4λ－4，4λ)．又―→AC＝―→OC－―→OA＝(－2，6)，由―→AP与―→AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以―→OP＝34―→OB＝(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)．解法2：设点P(x，y)，则―→OP＝(x，y)，因为―→OB＝(4，4)，且―→OP与―→OB共线，所以x4＝y4，即x＝y.又―→AP＝(x－4，y)，―→AC＝(－2，6)，且―→AP与―→AC共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3，3)．答案：(1)B(2)(3，3)1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．温示提馨请做：课时作业28（点击进入）向量共线定理证明三点共线的一个重要结论对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，―→OA，―→OB不共线，满足―→OP＝x―→OA＋y―→OB(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.此结论可利用共线向量定理进行证明．其证明过程如下：若x＋y＝1，则―→OP＝x―→OA＋y―→OB＝(1－y)―→OA＋y―→OB，故―→AP＝y―→AB，所以P，A，B共线；若P，A，B共线，则―→AP＝t―→AB(t∈R)，即―→OP－―→OA＝t(―→OB－―→OA)，所以―→OP＝(1－t)―→OA＋t―→OB，显然x＋y＝(1－t)＋t＝1.利用这个充要条件可以较为简捷地求解下面的问题．【例1】在平行四边形ABCD中，―→AE＝―→EB，―→CF＝2―→FB，连接CE，DF相交于点M，若―→AM＝λ―→AB＋μ―→AD，则实数λ与μ的乘积为()A.14B.38C.34D.43如图，连接AC，AF，因为E，M，C三点共线，所以设―→AM＝x―→AE＋(1－x)―→AC，则―→AM＝x2―→AB＋(1－x)(―→AB＋―→AD)＝1－x2―→AB＋(1－x)―→AD.又D，M，F三点共线，所以设―→AM＝y―→AF＋(1－y)―→AD＝y(―→AB＋―→BF)＋(1－y)―→AD＝y―→AB＋13―→AD＋(1－y)―→AD，即―→AM＝y―→AB＋1－2y3―→AD，所以1－x2―→AB＋(1－x)―→AD＝y―→AB＋1－2y3―→AD，所以1－x2＝y，1－x＝1－2y3，解得y＝34，即―→AM＝34―→AB＋12―→AD，所以λ＝34，μ＝12，故λμ＝34×12＝38.【答案】B【例2】如图所示，在△ABC中，点O是BC