高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形练习

1第2讲三角变换与解三角形1．(2016·课标全国丙改编)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝________.答案6425解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.2．(2016·天津改编)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.答案1解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．3．(2016·上海)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为__________．答案π6，5π6解析3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝12，∴x＝π6，5π6.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．答案8解析在△ABC中，A＋B＋C＝π，sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，由已知，sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝2sinBsinC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得，tanB＋tanC＝2tanBtanC.又tanA＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝tanB＋tanCtanBtanC－1.∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.2则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC≥22tanAtanBtanC，∴tanAtanBtanC≥22，∴tanAtanBtanC≥8.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．例1(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________.(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β＝________.答案(1)12(2)π4解析(1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝＋－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.(2)因为α，β均为锐角，所以－π2α－βπ2.3又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22.所以β＝π4.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1(1)已知sinα－π4＝7210，cos2α＝725，则sinα＝________.(2)若f(x)＝3sin(x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在R上的偶函数，则θ＝________.答案(1)35(2)－π3解析(1)由sinα－π4＝7210，得sinαcosπ4－cosαsinπ4＝7210，即sinα－cosα＝75，①又cos2α＝725，所以cos2α－sin2α＝725，即(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝725，因此cosα＋sinα＝－15.②由①②得sinα＝35.4(2)f(x)＝2sin(x＋θ－π6)，由题意得θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，因为－π2≤θ≤π2，所以k＝－1，θ＝－π3.热点二正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.例2(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sinBsinC；(2)若AD＝1，DC＝22，求BD和AC的长．解(1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得sinBsinC＝ACAB＝12.(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三5角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2(1)(2016·课标全国丙改编)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝________.(2)在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝________.答案(1)－1010(2)45°解析(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsinB，∴c＝23a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，∴b＝53a.∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a·23a＝－1010.(2)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，即43sin60°＝42sinB，解得sinB＝22，∵ba以及大边对大角，∴BA＝60°，∴B＝45°.热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3(2015·山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2x＋π4.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA2＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．6解(1)由题意知f(x)＝sin2x2－1＋cos2x＋π22＝sin2x2－1－sin2x2＝sin2x－12.由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)；单调递减区间是π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．(2)由fA2＝sinA－12＝0，得sinA＝12，由题意知A为锐角，所以cosA＝32.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立．因此12bcsinA≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3已知函数f(x)＝32·sin2x－cos2x－12，x∈R.(1)若x∈[524π，34π]，求函数f(x)的最大值和最小值，并写出相应的x的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝3，f(C)＝0且sinB＝2sinA，求a，b的值．7解(1)f(x)＝32sin2x－1＋cos2x2－12＝sin(2x－π6)－1.∵x∈[524π，34π]，∴2x－π6∈[π4，4π3]．∴当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)max＝0；∴当2x－π6＝4π3，即x＝3π4时，f(x)min＝－32－1.(2)∵f(C)＝sin(2C－π6)－1＝0，∴sin(2C－π6)＝1.∵C∈(0，π)，∴2C－π6∈(－π6，11π6)，∴2C－π6＝π2，即C＝π3.∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴b＝2a，a2＋b2－2abcosπ3＝3，解得a＝1，b＝2.1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sinB＝5cosC，并且a＝2，则△ABC的面积为________．押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点．答案52解析先把条件中角B的函数转化为角A与C的函数，求出sinC，然后用正弦定理求c，再利用S＝12acsinB求面积．8因为0Aπ，cosA＝23，所以sinA＝1－cos2A＝53.又5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝53cosC＋23sinC，结合sin2C＋cos2C＝1，得sinC＝56，cosC＝16.于是sinB＝5cosC＝56.由a＝2及正弦定理asinA＝csinC，得c＝3.故△ABC的面积S＝12acsinB＝52.2．已知函数f(x)＝3sinωx·cosωx－cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．押题依据三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．解(1)f(x)＝32sin2ωx－12(cos2ωx＋1)＝sin(2ωx－π6)－12，因为函数f(x)的周期为T＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－π6)－12，易得f(A)＝sin(3A－π6)－12.因为sinB，sinA，sinC成等比数列，所以sin2A＝sinBsinC，所以a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－bc2bc≥2bc－bc2bc＝12(当且仅当b＝c时取等号)，9因为0Aπ，所以0A≤π3，所以－π63A－π6≤5π6，所以－12sin(3A－π6)≤1，所以－1sin(3A－π6)－12≤12，所以函数f(A)的值域为(－1，12]．A组专题通关1．已知α为锐角，cosα＝35，tan(α－β)＝－13，则tanβ的值为________．答案3解析由α为锐角，cosα＝35，得sinα＝45，