Asymptotic behaviour of M-estimators

2017-2018学年江西省新余市高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={yy=x2-2}，集合B={xy=x2-1}，则有（）A.𝐴=𝐵B.𝐴∩𝐵=𝜑C.𝐴∪𝐵=𝐴D.𝐴∩𝐵=𝐴2.函数f（x）=2x+x-2的零点所在区间是（）A.(−∞,−1)B.(−𝑙,0)C.(0,1)D.(1,2)3.给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x-y），在映射f下（4，3）的原象为（）A.(2,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(10,5)4.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确的是（）A.若𝑎⊥𝑏，𝑎⊥𝛼，𝑏⊄𝛼，则𝑏//𝛼B.若𝑎⊥𝑏，𝑎⊥𝛼，𝑏⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽C.若𝑎//𝛼，𝛼⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽D.若𝑎⊥𝛽，𝛼⊥𝛽，则𝑎//𝛼5.函数f（x）=xa满足f（2）=4，那么函数g（x）=loga（x+1）的图象大致为（）A.B.C.D.6.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（）A.2√3B.2C.√6D.√37.下列四个不等式中，错误的个数是（）（1）50.5＜60.5（2）0.10.5＜0.10.4（3）log23＜log25（4）log32＜0.1-0.2A.0B.1C.2D.38.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形9.已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为x+y-2=0，则点A关于l的对称点A'的坐标为（）A.(−23,4)B.(−2,6)C.(2,4)D.(1,6)10.设min{a，b}表示a，b中较小的一个，则f（x）=min{log0.5（3x-2），log2x}的值域为（）A.(−∞,0B.[0,+∞)C.(−∞,log223D.[log223,+∞)11.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A.100𝑐𝑚3B.108𝑐𝑚3C.84𝑐𝑚3D.92𝑐𝑚312.若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件①M、N都在函数y=f（x）的图象上；②M、N关于原点对称．则称点对[M，N为函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[M，N与[N，M为同一“友好点对”）．已知函数f（x）={−𝑥2−4𝑥𝑥≤0𝑙𝑜𝑔3𝑥𝑥0，此函数的“友好点对”有（）A.0对B.1对C.2对D.3对二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则BM＝____．14.知函数f（x）=x2-2x-3在[4，+∞）上是单调增函数，则实数的取值范围是______．15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2-2x+1，不等式f（x2-3）＞f（2x）的解集用区间表示为______．16.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且𝐸𝐹=√22，则下列结论中正确的是______．①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E-ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30o．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x2x-1≤1}，B={xy=log2（3-x）}．（Ⅰ）求集合∁UA∩B；（Ⅱ）设集合C={＜a}，若A∪C=A，求实数a的取值范围．18.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程．（1）l′与l平行且过点（-1，3）；（2）l′与l垂直且在两坐标轴上的截距相等．19.如图，四棱锥C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC（2）求证：平面PCD⊥平面PEC；（3）求三棱锥C-BEP的体积．20.片森林原来面积为a，计划每年砍伐森林面积是上一年末森林面积的p，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到今年末为止，森林剩余面积为原来面积的√22，为保护生态环境，森林面积至少要保留原来面积的14．（1）求每年砍伐面积的百分比p；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今年以后至多还能再砍伐多少年？21.已知f（x）=x+𝑚𝑥-2（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；（2）若f（2x）＞0对x∈R恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．22.已知圆C满足：①圆心在第一象限，截y轴所得弦长为2，②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，③圆心到直线x-2y=0的距离为√55（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若点M是直线x=3上的动点，过点M分别做圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={yy=x2-2}=[-2，+∞），B={xy=x2-1}=R，故A∩B=A．故选：D．由题意化简A={yy=x2-2}=[-2，+∞），B={xy=x2-1}=R，从而求A∩B=A．本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：f（-1）=2-1+1-2=-＜0，f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x-2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．据函数零点的判定定理，判断f（-1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题．3.【答案】A【解析】解：∵（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x-y）设（4，3）的原象（a，b）则a+2b=4，2a-b=3故a=2，b=1故（4，3）的原象为（2，1）故选：A．由已知中：（x，y）在映射f的作用下的象是（x+2y，2x-y），设（4，3）的原象（a，b），根据已知中映射的对应法则，我们可以构造一个关于a，b的方程组，解方程组即可求出答案．本题考查的知识点是映射，其中根据已知中映射的对应法则，设出原象的坐标，并构造出相应的方程（组）是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面平行的判定定理得b∥α，故A正确；在B中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a∥α，α⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故D错误．故选：D．在A中，由线面平行的判定定理得b∥α；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a∥α或a⊂α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与思想，是中档题．5.【答案】C【解析】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=log2（x+1）=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当-1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选：C．利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=log2（x+1）=，分类讨论：当x≥0时，当-1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．6.【答案】A【解析】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2-4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．7.【答案】A【解析】解：∵y=x0.5为增函数，∴50.5＜60.5，故（1）正确；∵y=0.1x为减函数，∴0.10.5＜0.10.4，故（2）正确；∵y=log2x为增函数，∴log23＜log25，故（3）正确；∵log32＜1，0.1-0.2＞0.10=1，∴log32＜0.1-0.2，故（4）正确．∴错误的个数是0．故选：A．由基本初等函数的单调性逐一核对四个命题得答案．本题考查基本初等函数的单调性，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图，其中O'A'=6，O'C'=2，又∠D′O′C′=45°，∴O′D′=，在直观图中OA∥BC，OC∥AB，高为OD=4，CD=2，∴OC==6．∴原图形是菱形．故选：C．根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状．本题考查平面图形的直观图，熟练掌握直观图的画法是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：设点A（-4，4）关于直线x+y-2=0的对称点A′的坐标为（a，b），则由，求得a=-2，b=6，故点A′（-2，6），故选：B．设点A（-4，4）关于直线x+y-2=0的对称点A′的坐标为（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得答案．本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：当log0.5（3x-2）=log2x，解得x=1，当＜x≤1时，log0.5（3x-2）≥log2x，当x＞1时，log0.5（3x-2）＜log2x，∴f（x）=min{log0.5（3x-2），log2x}=∴当＜x≤1时，f（x）的值域为（-∞，0，当x＞1时，f（x）值域为（-∞，0，∴f（x）的值域为（-∞，0，故选：A．根据新定义，当log0.5（3x-2）=log2x，解得x=1，分段讨论值域即可．本题综合考查了函数的性质，分类讨论等思想，难度不大，关键是解题思路要清晰．11.【答案】A【解析】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6-××3×4×4=108-8=100．故选：A．如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】C【解析】解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=-（-x）2-4（-x）=-x2+4x，则函数y=-x2-4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2-4x（x≥0）由题意知，作出函数y=x2-4x（x≥0）的图象及函数f（x）=log3x（x＞0）的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即f（x）的“友好点对”有：2个．故选：C．根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=-x2-4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log3x（x＞0）交点个数即可．本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查空间中两点间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．先求出点M（1，2，3），由此利用两点间距离公式能求出BM的值．【解答】解：∵空间直角坐标系中，设A（-1，2，-3），B（-1，0，2），点M和点A关于y轴对称，∴M（1，2，3），BM==3．故答案为3