2017-2018学年河南省洛阳市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河南省洛阳市高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{＝2n－1，n∈N}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心（1，2），半径为1的圆，则a，b，c的值依次为（）A.−2，−4，4B.2，−4，4C.2，−4，−4D.−2，4，−43.若a=2-3，b=π12，c=log12e，则有（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑐𝑎𝑏C.𝑏𝑐𝑎D.𝑏𝑎𝑐4.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（）A.(√3+1)𝜋B.3𝜋C.4𝜋D.5𝜋5.已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A.若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，𝑚⊥𝑛，则𝛼⊥𝛽B.若𝑚//𝛼，𝑚⊥𝑛，则𝑛⊥𝛼C.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝛽，则𝛼//𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝑛，𝛼//𝛽，则𝑛//𝛽6.若M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交7.已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，若x•f（x）≥0，则x的取值范围是（）A.[一2，2B.(−∞,−2∪[2,+∞)C.(−∞,−2)∪[0，2D.[−2,0∪[2,+∞)8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2B.23C.4D.439.数学家欧拉在1765年在他的著作《三角形的几何体》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，√3），则该三角形的欧拉线方程为（）A.√3𝑥−𝑦−2√3=0B.𝑥−√3𝑦−2√3=0C.√3𝑥−𝑦−2=0D.𝑥−√3𝑦−2=010.已知函数f（x）={3𝑎𝑥−7,𝑥1−𝑥2+𝑎𝑥,𝑥≤1，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(一∞，3)D.(一∞，311.直线x-y-√2=0与曲线y=√1−𝑥2交于M、N两点，O为坐标原点，当△OMN面积取最大值时，实数的值为（）A.−√33B.−√3C.−1D.112.已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，满足f（f（x）-ex-2lnx）=e+1，则函数f（x）的零点所在区间为（）A.(1𝑒3,1𝑒2)B.(1𝑒2,1𝑒)C.(1𝑒,1)D.(1,𝑒)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f（2x）=2x2-1，则f（1）=______．14.P（1，1，-2）是空间直角坐标系中一点，点P关于平面xOy对称点为M，点P关于轴对称点为N，则线段MN=______．15.函数f（x）=ln（x+2）+ln（4-x）的单调递减区间是______．16.如图，正方形ABCD边长为2，点M在线段DC上从点D运动到点C，若将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABC，则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：3x+（m+1）y-6=0，l2：mx+2y-（m+2）=0，分别求满足下列条件的m的值（1）l1⊥l2；（2）l1∥l218.已知△ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x＋2y－1＝0，∠ABC的平分线BH所在直线方程为y＝x．求：（Ⅰ）顶点B的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程.19.如图，直线PA垂直圆O所在的平面，AB为圆O的直径，PA＝AB，C是圆O上除A，B外一动点，点M，N分别是线段PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AN⊥MN；（Ⅱ）证明：异面直线PA与CM所成角为定值，并求其所成角的大小．20.已知函数f（x）=lg𝑎𝑥−3𝑥+3，其中a为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）设函数f（x）的定义域为Ⅰ，若[2，5⊆I，求实数a的取值范围．21.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为CD，PB的中点，AP＝2，𝐴𝐸=√3．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥平面PAB；（Ⅲ）求二面角P－AE－F的大小．22.已知圆C：x2+（y-1）2=r2（r为半径），圆C被x轴截得弦长为2√2，直线l：y=x+m（m∈R），O为坐标原点（1）求圆的方程；（2）若m=-2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长PQ最短时，点P的坐标；（3）若直线l与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求实数m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】考查列举法、描述法表示集合的概念，交集的运算，以及子集的定义．容易求出M∩N={1，3}，即得出P={1，3}，从而可求出P的所有子集，这样即可得出P的子集个数．【解答】解：M∩N={1，3}；∴P={1，3}；∴P的子集为：∅，{1}，{3}，{1，3}，共四个．故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题．根据题意，由圆的一般方程分析可得，解可得a、b、c的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则，解可得：a=2，b=-4，c=4，故选B．3.【答案】D【解析】解：∵0＜a=2-3＜20=1，b=π＞1，c=loge＜，∴b＞a＞c．故选：D．分别利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则比较三个数与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．4.【答案】B【解析】解：如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，边长为2，故底面半径r=1，母线长l=2，S底=πr2=π，S侧=πrl=2π，∴圆锥表面积为3π，故选：B．利用轴截面为正三角形，很容易得到底面半径，母线长，代入公式求得底面积和侧面积，得解．此题考查了圆锥表面积，属容易题．5.【答案】C【解析】解：由m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中，若m⊥α，m⊥n，α∥β，则n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．故选：C．在A中，α与β相交或平行；在B中，n与α相交、平行或n⊂α；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，n与β相交、平行或n⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，若M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，则x02+y02=r2，圆x2+y2=r2（r＞0）的圆心为（0，0），半径为r，圆心到直线的距离d==r，直线x0x+y0y=r2与该圆相切；故选：A．根据题意，求出圆的圆心与半径，由点到直线的距离公式分析可得圆心到直线的距离d==r，由直线与圆的位置关系即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线与圆位置关系的判断方法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，当x≥0时，f（x）=x2-2x，若f（x）≥0，即x2-2x≥0，解可得：x≥2，则在区间（0，2）上，f（x）≤0，在（2，+∞）上，f（x）≥0，又由f（x）为偶函数，则在区间（-2，0）上，f（x）≤0，在（-∞，-2）上，f（x）≥0，若x•f（x）≥0，即或，则有-2≤x≤0或x≥2，即x•f（x）≥0的解集为[-2，0∪[2，+∞）；故选：D．根据题意，由函数在x≥0时的解析式分析可得在区间（0，2）上，f（x）≤0，在（2，+∞）上，f（x）≥0，结合函数的奇偶性可得在区间（-2，0）上，f（x）≤0，在（-∞，-2）上，f（x）≥0；又由x•f（x）≥0，可得或，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）＞0和f（x）＜0的解集．8.【答案】D【解析】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=1故棱锥的体积V==，故选：D．由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.【答案】A【解析】【分析】△ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），利用重心定理可得重心G．设△ABC的外心为W（2，a），可得OW=WC，解得a．利用点斜式即可得出欧拉线．本题考查了直线方程、两点之间的距离公式、三角形的垂心外心重心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：△ABC的顶点为A（0，0），B（4，0），C（3，），∴重心G．设△ABC的外心为W（2，a），则OW=WC，即=，解得a=0．可得W（2，0）．则该三角形的欧拉线方程为y-0=（x-2），化为：x-y-2=0．故选：A．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（-∞，1且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则-1+a＞3a-7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数a的取值范围是（-∞，3）．故选：C．当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（-∞，1且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则-1+a＞3a-7，由此能求出实数a的取值范围．本题考查函数的单调性和运用，注意二次函数的对称轴和区间的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11.【答案】A【解析】解：由，知y≥0，将等式两边平方得y2=1-x2，即x2+y2=1，所以，曲线表示的图形是圆x2+y2=1的上半部分，设∠MON=θ，则△OMN的面积为，显然，当θ=90°时，△OMN的面积取到最大值，此时，△OMN是等腰直角三角形，设原点到直线的距离为d，则，另一方面，由点到直线的距离公式可得，解得，结合图象可知，＜0，因此，，故选：A．根据∠MON为直角时，△OMN的面积取到最大值，于是得到△OMN为等腰直角三角形，根据三角形的相关知识求出原点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程可解出的值，但需要结合图形，得出＜0，从而得出正解．本题考查直线与圆的位置关系，将问题转化为圆心到直线的距离，是解本题的关键，属于中等题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-ex-2lnx=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）-ex-2lnx为定值，设t=f（x）-ex-2lnx，则f（x）=ex+2lnx+t，又由f（t）=e+1，即et+2lnt+t=e+1，解得t=1，则f（x）=1+2lnx+ex，f′（x）=+ex＞0，可得f（x）在x＞0递增，f（）=e-2+1＞0，f（）=e-3＜0，则f（x）在（，）有零点．故选：B．由题意可设t=f（x）-ex-2lnx，则f（x）=ex+2lnx+t