2017-2018学年浙江省杭州二中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.集合A={1，2，3，4}，B={x（x-1）（x-a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A.4𝑎5B.4≤𝑎5𝐶C.4𝑎≤5D.𝑎42.P为三角形内部一点，m，n，为大于1的正实数，且满足𝑚𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑛𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑘𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A.：n：mB.(𝑘+1)：(𝑛−1)：mC.1𝑚：1𝑛−1：1𝑘+1D.𝑘2：𝑛2：𝑚23.已知锐角α满足𝑐𝑜𝑠2𝛼=𝑐𝑜𝑠(𝜋4−𝛼)，则sinαcosα等于（）A.14B.−14C.√24D.−√244.若𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗是一组基底，向量𝑚⃗⃗⃗=𝑥𝑒1⃗⃗⃗+𝑦𝑒2⃗⃗⃗，则称（x，y）为向量𝑚⃗⃗⃗在基底𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗下的坐标，现已知向量𝑎⃗⃗在基底𝑝⃗⃗=(1，−1)，𝑞⃗⃗=(2，1)下的坐标为（-2，1），则向量𝑎⃗⃗在另一组基底𝑚⃗⃗⃗=(−2，1)，𝑛⃗⃗=(−4，−1)下的坐标为（）A.(2,−1)B.(1,−2)C.(−1,2)D.(−2,1)5.下列函数是偶函数，且在[0，1上单调递增的是（）A.𝑦=sin(𝑥+𝜋2)B.𝑦=1−2cos22𝑥C.𝑦=ln𝑥D.𝑦=sin(𝜋+𝑥)6.函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+12𝑙𝑜𝑔2𝑥的零点个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知函数f（x）={𝑓(4−𝑥),2𝑥4𝑙𝑛𝑥,0𝑥≤2若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+（x3x4-17x1x2）恒成立，则实数的最大值为（）A.112B.2−√32C.176D.3√3−128.将函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)的图象向左平移𝜋12个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=-4，且x1，x2∈[-2π，2π，则x1-x2的最大值为（）A.3𝜋2B.5𝜋2C.7𝜋2D.9𝜋29.已知𝑎=(19)13，𝑏=𝑙𝑜𝑔913，𝑐=319，则a，b，c的大小关系是（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑐𝑎𝑏C.𝑎𝑐𝑏D.𝑐𝑏𝑎10.已知函数𝑓(𝑥)={33+𝑙𝑜𝑔2𝑥，𝑥＞0𝑓(𝑥+12)，𝑥≤0则f（-2）=（）A.13B.3C.19D.9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.设单位向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗对任意实数λ都有𝑒1⃗⃗⃗+12𝑒2⃗⃗⃗≤𝑒1⃗⃗⃗+𝜆2𝑒2，则向量𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗的夹角为______．12.函数f（x）=2x-12𝑥+t-t，x∈[0，1，（t为常数）的最大值为32，则t的取值范围为______．13.设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．14.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f（-4）=1，则f（2018）=______．15.在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗且2λ+3μ=1，若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-x𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗（其中x为实数）的最小值为1，则𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为______16.若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则𝑓(120169)=______．三、解答题（本大题共4小题，共46.0分）17.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），(𝐴＞0，𝜔＞0，𝜑＜𝜋2)的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为𝜋2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移𝜋12个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的1𝜐（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．18.已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（-2，-1），点P的纵坐标为2，且𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，点Q是边AB上一点，且𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足𝑃𝐸𝑃𝑀=𝑀𝐹𝑀𝑄，试求𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．19.已知函数f（x）=cos（2x-𝜋3）+2sin（x-𝜋4）sin（x+𝜋4）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[−𝜋2，𝜋2上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且∠𝐵=𝜋6，∠𝐴为锐角，𝑓(𝐴)=513，求cosC的值．20.已知函数f（x）=--a+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）-x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）时，都有f（x）≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x1＜x＜a}或B={xa＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．根据集合A={1，2，3，4}，B={x1＜x＜a}，集合A∩B={2，3，4}，那么B的范围a要大于4．即可得结论．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（+1）：（n-1）：m．故选：B．利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力．3.【答案】A【解析】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（-2，1）+y（-4，-1）=（-2x-4y，x-y），则，解得，故选：A．通过向量的变换，求出向量，结合平面向量的基本定理转化求解即可．本题考查平面向量的基本定理的应用，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1-2cos22x=-cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1-2cos22x在区间[0，1上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=lnx，该函数为偶函数，且函数y=lnx在区间[0，1上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=sin（π+x）=-sinx=sinx，定义域为R，且sin（-x）=-sinx=sinx，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=sin（π+x）在区间[0，1上单调递增，符合题意，故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及在区间[0，1上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数奇偶性的判断方法．6.【答案】C【解析】解：令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=-cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．令函数，即log4x=-cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=-cosx的图象，通过数形结合判断方程解的个数．本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力．7.【答案】A【解析】解：当2＜x＜4时，0＜4-x＜2，所以f（x）=f（4-x）=ln（4-x），由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．求得2＜x＜4时f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，求得0＜m＜ln2，x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4-x3）（4-x4）=1，，运用数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得的范围．本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和参数分离，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=-4，所以g（x1）=2，g（x2）=-2；或g（x1）=-2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[-2π，2π，所以，，故选：C．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的对称中心，再利用正弦函数的图象和性质，求得x1-x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．根据指数幂，对数的性质分别估算，a，b，c的大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，根据对数，指数幂的性质进行估算是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：当x≤0时，，则=．故选：D．当x≤0时，，则=f（），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】23𝜋【解析】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．设单位向量的夹角为θ，对于任意实数λ都有成立，从而恒成立，进而，推导出，由此能求出向量的夹角．本题考查两个向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.【答案】[−14，+∞）【解析】解：设m=2x-．当x∈[0，1，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）利用换元法，求解m=2x-的范围，对t进行讨论，求解最大值，可得其范围．本题主要考查函数最值的求解，换元法去绝对值，分类讨论是解决本题的关键．13.【答案】12【解析】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，则l=αr=4α，…①S=lr=2l=4，…②，由①②解得α=，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．根据扇形的弧长与面积公式，列方程组求得圆心角α的值．本题考查了扇形的弧长与面积公式的应用问题，是基础题．14.【答案】-1【解析】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（-x）=-f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（-x）=f（x），则有f（x）=-f（2+x），则f（x+4）=-f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（-2）=-f（-4）=-1；故答案为：-1．根据题意，分析可得f（-x）=-f（2