2017-2018学年浙江省湖州市高一(下)期末数学试题(解析版)

第1页共20页2017-2018学年浙江省湖州市高一（下）期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】A【解析】求出直线的斜率，再求它的倾斜角．【详解】解：直线化为，直线的斜率为，所以它的倾斜角是．故选：A．【点睛】本题考查了求直线的斜率与倾斜角的计算问题，是基础题．2．在等比数列中，，，则公比q是A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，计算即可得答案．【详解】解：根据题意，等比数列中，，，则，则；故选：A．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式．第2页共20页3．若，，则一定有A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】解：由于，所以：，进一步求出：，由于：，则：，即：，故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．若圆与圆关于原点对称，则圆的方程是A．B．C．D．【答案】D【解析】由对称性可知圆的圆心为，半径为1，可得圆的方程；【详解】解：由题意可得圆圆心为，半径为1，由对称性，关于原点对称的圆心，半径也是1，圆的圆心为，半径为1，第3页共20页圆的方程为：；故选：D．【点睛】本题考查关于点对称的圆的方程，是基础题5．若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是A．B．或C．D．或【答案】C【解析】先由不等式的解集与不等式之间的关系，得出1和2是关于x的方程的两根，由韦达定理可求出a和b的值，再代入不等式，解出该不等式即可得出答案．【详解】解：由题意可知，1和2是关于x的方程的两实根，由韦达定理可得，解得，所以，不等式，即为，即，解得，故选：C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，问题的关键在于理解一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，属于中等题．6．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】根据题意，利用基本不等式得出关于a的不等式，求解即可．【详解】第4页共20页解：不等式对任意的正实数x，y恒成立，则对任意的正实数x，y恒成立，又，，解得或不合题意，舍去，，即正实数m的最小值是4．故选：B．【点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．7．莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是A．2个B．13个C．24个D．35个【答案】A【解析】由题意可设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，然后由已知列式求得a，d的值，则答案可求．【详解】解：设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，则有，，得．又，，得．第5页共20页最小的一份为个，故选：A．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．8．在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知及余弦定理可得，可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，由，可得，进而可求，即可得解．【详解】解：，由余弦定理可得：，可得，，，可得：，可得：，，由，可得：，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9．已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足第6页共20页的n的最大值是A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】推导出，，从而数列是等比数列，进而，由此得到，从而能求出n的最大值．【详解】解：数列的首项，前n项和为，且满足，当时，，得．当时，有，两式相减得．再考虑到，所以数列是等比数列，故有．因此原不等式足化为，化简得，得，5，6，7，8，9，所以n的最大值为9．故选：B．【点睛】本题考查数列不等式的项数n的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点第7页共20页Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：直线，即，由，求得，直线经过定点．由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，可得圆心为PQ的中点，半径为，则与M的最大值为，则与M的最小值为，故MN的范围为：，故选：B．【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题11．已知两点，则直线AB的斜率k的值是______，直线AB在y轴的截距是______．【答案】【解析】根据题意，将A、B的坐标代入直线的斜率公式，计算可得k的值，进而可得直线的点斜式方程，变形可得直线的截距式方程，即可得答案．【详解】解：根据题意，直线AB上，两点，则直线AB的斜率，第8页共20页则直线AB的方程为，变形可得，则直线AB在y轴的截距是；故答案为：3，．【点睛】本题考查直线的截距式方程以及直线的斜率计算，属于基础题．12．已知数列的前n项和则______．【答案】【解析】直接利用赋值法求出结果．【详解】解：令时，则．故答案为：1【点睛】本题考查的知识要点：数列的赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13．已知实数x，y满足，此不等式组表示的平面区域的面积为______，目标函数的最小值为______．【答案】，；【解析】试题分析：不等式组所表示的平面区域如下图的阴影部分所示：第9页共20页其中,所以，边上的高为所以,；另一方面，由得：，当直线经过点时在轴上的截距最大，从而最小，；综上答案应填：，；【考点】1、二元一次不等式组所表示的平面区域；2、简单的线性规划问题．14．已知a，b都为正实数，且，则ab的最小值是______，的最大值是______．【答案】【解析】根据基本不等式即可求出ab的最小值，由，可得，代入，整理化简，根据二次函数的性质即可求出．【详解】第10页共20页解：，b都为正实数，且，，当且仅当，的最小值是，，，，，，，的最大值是4，故答案为：，4【点睛】本题主要考查了二次型函数值域的求解，解题中利用b表示a后要注意由，得到的范围不要漏掉，属于中档题15．已知圆与圆相交于M，N两点，则直第11页共20页线MN的方程是______．【答案】【解析】根据题意，将圆的方程变形为一般方程，与圆的方程联立，分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆，其一般方程为，，圆，，可得：，变形可得，即直线MN的方程是，故答案为：．【点睛】本题考查圆与圆的相交的性质以及直线与圆的位置关系，属于基础题．16．若锐角的面积为，，，则BC边上的中线AD的长是______．【答案】【解析】直接利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定理求出结果．【详解】解：锐角的面积为，，，则：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，第12页共20页在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17．已知，记函数在的最大值为，则实数t的值是______．【答案】【解析】由基本不等式可得，讨论时，当时，当时，结合最值的取得在区间的端点处或，即可得到所求．【详解】解：函数在的最大值为，时，，由，当且仅当时，取得最小值2，当即时，，函数在递减，递增，且的最大值为，由，可得不成立；第13页共20页当即时，，由于，，，且的最大值为区间的端点处取得，或取得，当即时，的最大值，解得满足题意；当即时，的最大值大于等于1，不满足题意．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，以及对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题18．已知直线：，直线：．Ⅰ若直线与直线平行，求实数a的值；Ⅱ若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．【答案】（I）；（II）.【解析】Ⅰ由题意利用两条直线平行的条件求得实数a的值．Ⅱ由题意利用两条直线垂直的条件求得a的值，再把两直线与的方程联立方程组，从而求得交点坐标．【详解】解：已知直线：，直线：．Ⅰ若直线与直线平行，则有，求得．Ⅱ若直线与直线垂直，则有，求得，两直线即直线：，直线：，第14页共20页由求得，直线与的交点坐标为【点睛】本题主要考查两条直线平行和垂直的条件，求两条直线的交点的坐标，属于基础题．19．已知公差不为零的等差数列的前10项和，且，，成等比数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（I）；（II）.【解析】设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列可得：，，即，联立解得，d，即可得出．，利用求和公式即可得出．【详解】解：设等差数列的公差为，，且，，成等比数列．，，即，联立解得．．，数列的前n项和．第15页共20页【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ若，求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】Ⅰ直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出C的值．Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：Ⅰ中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．所以：，整理得：，，由于，所以：，由于，所以：．Ⅱ由Ⅰ得：，且，所以：，，由于：，第16页共20页所以：，则：，故的取值范围为．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线相切，与y轴交于M，N两点，且．Ⅰ求圆C的标准方程；Ⅱ过点的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；Ⅲ已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.【解析】设圆C的方程为，利用点C到直线的距离为，求出a，即可求圆C的标准方程；Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，即可求出k的值，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，由题第17页共20页意可得则，即可求出a，b的值，方法二：设是圆C上任意一点，由得，对照圆C的标准方程即，可得，解得即可．【详解】解：Ⅰ由题意知圆心，且，由知中，，，则，于是可设圆C的方程为又点C到直线的距离为，所以或舍，故圆C的方程为，Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，又当时满足题意，因此所求的直线方程为或，Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则即，则，第18页共20页令，解得或，因此存在，，或，满足题意，方法二：设是圆C上任意一点，由得，化简可得，对照圆C的标准方程即，可得，解得解得或，因此存在，或，满足题意．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，以及分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知数列满足，且．Ⅰ使用数学归纳法证明：；Ⅱ证明：；Ⅲ设数列的前n项和为，证明：．【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.【解析】Ⅰ利用数学归纳法，分别讨论当时和当时的情况；Ⅱ，由Ⅰ知，故；Ⅲ因为，所以，由可得第19页共20页，进而可表示出，利用裂项相消法即可求出，从而证得．【详解】解：Ⅰ当时，，故当时命题成立；假设时命题成立，即，当时，注意在单调递增，所以，故，故当时命题成立．因此对任意的，有；Ⅱ由，由Ⅰ知，故．Ⅲ因为，所以因为，所以，故有，第20页共20页．综上所述，．【点睛】本题考查了数学归纳法的运用，考查了数列求和的方法，属于中档题．