6.2高等数学概率的基本公式

返回第二节概率的基本公式一、概率的加法定理1.设A;B为任意两个事件,则:P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)ABP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)返回例题1右图A,B开关的开与关概率均为1/2,求灯亮的概率.解:P(灯亮)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=AB43212121214321211)(1)(BAPBAP法2：返回推论1.若A.B为互不相容的两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)一般地,若A1,A2,…,An两两互不相容,则)()(...)()...()(11211niinnniiAPAPAPAAApAP返回推论2对任一事件A,有)(1)(__APAP推论3若事件AB,则P(A-B)=P(A)-P(B)返回例题2盒中有32只红球,4只白球,从中任取2支,求:至少有1只白球的概率.解：P(恰好1只白球)=P(A)=2032.0/23613214CCC0095.023624CCP(恰好2只白球)=P(B)=P(至少1只白球)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2032+0.0095=0.2127解法2:2127.01)(1)(236232CCDPDP返回例题310名学生为同一年出生,问至少二人同一天生日的概率.解:P(二人同一天)=1-P(没有人同一天生日)=1-3651010365P返回例题4一盒试样共20支，放置一段时间后，其中有6支澄明度较差，有5只标记不清，有4只澄明度和标记都不合要求，现从中任取1支，求这只无上述问题的概率。解：A=｛澄明度较差｝；B=｛标记不清｝)(BAP求)(BAP)(1BAP)()()(1ABPBPAP204205206165.0返回二、概率的乘法公式1.条件概率定义:事件A和B,若P(A)≠0,则下式称为在事件A发生的条件下B发生的概率)()()(APABPABP或)()()()()(BAPBPABPAPABPBA返回例题110件物品中有2件次品,若不放回地抽取,问:第一次取到正品后第二次取得正品的概率.解:设A={第一次取到正品}B={第二次取到正品}则所求概率为:)()()(APABPABP9710891078返回例题2一群人中,聋子的概率为0.005,盲人的概率为0.0085,而聋子中是盲人的概率为0.12,求某人又聋又盲的概率.解:设A={聋子};B={盲人}则:P(A)=0.005;P(B)=0.0085;P(B/A)=0.12所求概率：P(又聋又盲)=P(AB))/()(ABPAP0006.012.0005.0返回条件概率的性质:1.P(B/A)≥02.P(U/A)=1,P(V/A)=03.P(B/A)=1-P(B/A)4.P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A)特别地:当条件A=U时,条件概率就变成无条件概率了.即:P(B/U)=P(B)返回2.独立事件与乘法公式独立事件定义:若P(B)=P(B/A),则称事件B与事件A独立由于：)()()()()()()(BPAPBAPBPABPAPABP定理2:事件A与B相互独立)()()(BPAPABP均相互独立与；与；与BAABBA返回例题1甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:P(A)=0.7;P(B)=0.91.甲乙两人都打中的概率为:P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.632.目标被打中的概率为:P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.973.P(甲脱靶/目标击中)))/((BAAP=0.3*0.9/0.97=0.278)()()(BAPBPAP返回例题2甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为问密码能被破译出来的概率.解:.41,31,51例题3(见142页例6-18))(CBAP)()()(1CPBPAP534332541)(1CBAP)(1CBAP返回例题4:彩电使用10000小时无故障的概率为95%,使用15000小时无故障的概率为60%;现有一台彩电已使用了10000小时无故障,问该彩电继续使用到15000小时无故障的概率?解:设A={使用10000小时无故障};B={使用15000小时无故障}所求概率为:P(B/A)=)()(APABP)()(APBP=0.6/0.95=0.63返回三、全概率公式及Bayes公式完备事件组:事件A1,A2,,…,An两两互不相容,且P(Ai)0;.niiUA1全概率公式设事件A1,A2,,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,都有:)()()(1iniiABPAPBP返回证明:))(()()(21nAAABPBUPBP)()()()(11nnABPAPABPAP)()()(21BAPBAPBAPnniiiABPAP1)()(A1A2AiAn……B)(21BABABAPn返回例题1口袋中有3红2白球，现无放回地取2球，问第二次取到红球的概率？解：设A：第一次取到红球B：第二次取到红球)AB(P)A(P)AB(P)A(P)B(P5343524253返回例2：甲、乙、丙三车间的次品率分别为1%，1.5%，2%，且全厂各车间产品所占比例为25%，35%，40%，求全厂的次品率？解：设Ai(I=1,2,3)：分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品B：表示抽到次品。则：P（B）niiiABPAP1)()(%2%40%5.1%35%1%25%6.1返回Bayes公式（逆概率公式）)B(P)AB(P)A(P)B(P)BA(P)BA(PiiiiniiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()(另：)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P返回例3：患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为0.95，而未患病的人误诊的概率为0.002，又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？解：设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病P（B/A）)()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBP)()(APABP002.0999.095.0001.095.0001.032225.0返回四、独立重复试验和伯努利（Bernoulli)概型独立重复试验：在相同条件下重复试验，各次试验的结果相互独立的随机试验。伯努利（Bernoulli)试验：每次试验结果只有A与A的独立重复试验。例：扔硬币；射击等返回定理：n次Bernoulli试验中，事件A出现k次的概率为：nkqpCkPknkknn,,2,1,0)(并且1)(0nknkP其中P(A)=p，p+q=1例1：扔5次硬币正面出现3次的概率为：3125.05.05.0)3(353355CP返回例2：5个细菌随机出现在3个试管溶液中，则第一个试管溶液中的细菌不多于一个的概率？解：设：P(A)=P(某个细菌落在第一个试管)31)1()0()1(kPkPkP41155005)32()31()32()31(CC46.0