高三寒假复习讲义第16章 坐标系与参数方程

高三寒假复习讲义第十六章坐标系与参数方程考点一坐标系与极坐标方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ0y′＝μ·yμ0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2极坐标系与点的极坐标如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．3极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则极坐标与直角坐标的互化公式为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.4简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)注意点直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.入门测1．思维辨析(1)极角θ的取值范围是[0,2π)．()(2)极坐标系中的(1,0)点，与直角坐标系中的(1,0)点重合．()(3)过极坐标系中点2，π2平行于极轴的直线方程是ρcosθ＝0.()答案(1)×(2)√(3)×2．化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1答案C解析ρ2cosθ－ρ＝ρ(ρcosθ－1)＝0，∴x2＋y2＝0或x＝1.选C.3．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．答案3解析直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l，则12＝122＋l22，解得l＝3.[考法综述]利用极坐标与直角坐标的互化，考查一些距离、参数、交点、弦长等问题的计算．同时也可以利用极坐标系的特点求一些特殊的角和距离．命题法极坐标与直角坐标的互化与应用典例(1)在极坐标系中，曲线C1的方程为ρ＝2sinθ＋π3，直线C2的方程为ρsinθ＋π3＝4.以极点O为坐标原点，极轴方向为x轴正方向建立平面直角坐标系xOy.①求C1，C2的直角坐标方程；②设A，B分别是C1，C2上的动点，求|AB|的最小值．(2)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.①把C1的参数方程化为极坐标方程；②求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π)．[解](1)①曲线C1的极坐标方程可化为ρ＝sinθ＋3cosθ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋3ρcosθ，则曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝y＋3x，即x2＋y2－3x－y＝0，直线C2的极坐标方程可化为12ρsinθ＋32ρcosθ＝4，则直线C2的直角坐标方程为12y＋32x＝4，即3x＋y－8＝0.②将曲线C1的直角坐标方程化为x－322＋y－122＝1，它表示以32，12为圆心，以1为半径的圆．该圆圆心到直线3x＋y－8＝0的距离d＝3×32＋12－82＝3，所以|AB|的最小值为3－1＝2.(2)①将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint，消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.②C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.联立C1，C2的方程x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1，或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.【解题法】求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用．(2)转化为直角坐标系后，用直角坐标求解．使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4答案A解析由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，y＝1－x可得ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝1cosθ＋sinθ，再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈0，π2.因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2.2．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3，(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22答案D解析由x＝t＋1，y＝t－3，消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.3.在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．答案1解析点2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.4．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________．答案6解析圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝π3，则tanθ＝3，化为直角坐标方程为3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.5．已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ0，3π4θ5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．答案(2，π)解析直线l的普通方程为y＝x＋2，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤－2)，故直线l与曲线C的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．6．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l与曲线C：x＝2＋cosα，y＝1＋sinα，(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．答案ρ(cosθ－sinθ)＝1解析曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，∵弦长|AB|＝2，∴圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，∴圆心在直线l上，∴l：y＝x－1，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l的极坐标方程为：ρ(cosθ－sinθ)＝1.7．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．答案3解析由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y.所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)．则CD＝CB·sin30°＝2×12＝1，即a－2＝1，所以a＝3.8.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.9．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6.所以圆C的半径为6.考点二参数方程知识点1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt，①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如，x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝ft，y＝gt，就是曲线的参数方程．3直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ，(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ，(φ为参数)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)x＝acosφ，y＝btanφ，(φ为参数)抛物线y2＝2pxx＝2pt2，y＝2pt，(t为参数)注意点参数方程中x，y的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值