高三寒假复习讲义第9章 第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系

高三寒假复习讲义第九章直线和圆的方程第1讲直线的方程和两条直线的位置关系考点一直线及其方程1表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.(2)直线的斜率①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2直线方程的形式及适用条件注意点对直线的倾斜角和斜率的理解每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意.1．思维辨析(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．()(4)任何直线方程都能写成一般形式．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2α3，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.3．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0D．x－2y－5＝0答案B解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为x2＋y－4＝1.即2x－y－4＝0.[考法综述]高考中对直线方程的考查，一种常见方式是求曲线的切线方程，也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查，难度中低档．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．命题法求直线的斜率、倾斜角及方程典例(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.0，π2B．(0，π)C.－π4，π4D.0，π4∪3π4，π(2)根据所给条件求直线的方程．①直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；②直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；③直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[解析](1)直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4；当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是3π4，π.(2)①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.②由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.③当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.[答案](1)D(2)见解析$来&源：ziyuanku.com【解题法】直线的倾斜角、斜率、方程的求法(1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围．②利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．(2)求斜率的常用方法①已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．②已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tanα(α≠90°)来求斜率．③方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－AB.(3)求直线方程的两种方法①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．②待定系数法，具体步骤为：a．设所求直线方程的某种形式．b．由条件建立所求参数的方程(组)．c．解这个方程(组)求出参数．d．把参数的值代入所设直线方程．1.已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A．k≥12B．k≤－2C．k≥12或k≤－2D．－2≤k≤12答案D解析由已知直线l恒过定点P(2,1)，如图所示．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝12，∴－2≤k≤12.故选D.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是()A．4B．3C．2D．1答案A解析设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝52(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝an＋2－ann＋2－n＝2d2＝d＝4，故选A.3．在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．解(1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a)．又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，所以C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，所以C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋a－bx1＋x2x1x2＝ka＋ba.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．考点二两条直线的位置关系资*源%库ziyuanku.com1两条直线的位置关系2两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3距离4对称问题包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点关于点对称：若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1，y＝2b－y1，进而求解．②直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)轴对称①点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，Ay1－y2＝Bx1－x2，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．②直线关于直线的对称：a.若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；b.若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．$来&源：ziyuanku.com注意点判断两直线位置关系及求距离时注意事项(1)两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．(2)使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的.1．思维辨析(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．()(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．()(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．()(6)当直线l1，l2斜率都存在时，若k1＝k2，则l1∥l2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．(1)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．0B．－8C．2D．10(2)直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．答案(1)B(2)－4解析(1)由于kAB＝4－mm＋2＝－2(m≠－2)，则m＝－8.(2)因为两直线的交点在y轴上，所以点0，43在第一条直线上，所以C＝－4.3．直线x－2y＋1＝0关于x＝3对称的直线方程为________．答案x＋2y－7＝0解析设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则其关于x＝3对称的点为(6－x，y)，从而有6－x－2y＋1＝0，即x＋2y－7＝0，所以直线x－2y＋1＝0关于x＝3对称的直线方程为x＋2y－7＝0.[考法综述]高考要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用平行或垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，考查用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，求距离和对称问题等．命题法1两条直线的平行、垂直关系、距离的计算典例1(1)已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0.①若l1⊥l2，求实数a的值；②试判断l1与l2是否平行．(2)已知点P(2，－1)．①求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；②求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？[解](1)①由直线l1的方程知其斜率为－a2，当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠1时，直线l2的斜率为－1a－1.$来&源：ziyuanku.com由－a2·－1a－1＝－1⇒a＝23.故所求实数a的值为23.②由①知，当a＝1时，l1、l2相交，当a≠1时，直线l1的斜率为－a2，直线l2的斜率为－1a－1.由l1∥l2可得－a2＝－1a－1，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，l1的方程为x＋y＋3＝0，l2的方程为x＋y＋3＝0，显然l1与l2重合．当a＝－1时，l1的方程为x－2y－6＝0，l2的方程为x－2y＝0，显然l1与l2平行．所以，当a＝－1时，l1∥l2；当a＝2时，l1与l2重合；当a≠1且