2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)

[读教材·填要点]已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果l1与l2相交且交点为P(x0，y0)，则P点的坐标应满足方程组A1x0＋B1y0＋C1＝0，A2x0＋B2y0＋C2＝0.如果P点的坐标是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的唯一解，则P点是直线l1与l2的．因此，两条直线是否有交点，就要看方程组是否有解，当方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0有无穷多个解时，说明直线l1与l2，当方程组无解时，说明l1与l2．交点平行A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0重合[小问题·大思维]1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程组的办法来解决三点是否共线的问题？提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无数个解，则A、B、C三点共线．2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就有几个交点．当方程组易解时此法才有效．法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，用“数形结合”法判断，此法往往能出奇致胜．[研一题][例1]判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.[自主解答](1)解方程组2x＋3y－7＝0，5x－y－9＝0，得x＝2，y＝1.所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组2x－3y＋5＝0，①4x－6y＋10＝0，②①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组2x－y＋1＝0，①4x－2y＋3＝0，②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.[悟一法]根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合．也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系．[通一类]1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：(1)5x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0；(2)2x－6y＋3＝0，y＝13x＋12；(3)2x－6y＝0，y＝13x＋12.解：(1)解方程组5x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，得该方程组有唯一解x＝－103，y＝143，所以两直线相交，且交点坐标为－103，143.(2)解方程组2x－6y＋3＝0，①y＝13x＋12，②因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．(3)解方程组2x－6y＝0，①y＝13x＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行.[研一题][例2]求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．[自主解答]法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0.解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．[悟一法]求直线过定点的方法：(1)特殊值法，令参数为两个特殊值，取出两条直线求交点，再将交点代入原方程，证明交点满足原方程即可．(2)将直线方程变形为：f(x，y)＋kg(x，y)＝0.由fx，y＝0，gx，y＝0，求出定点．[通一类]2．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；再取m＝12，直线为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)．将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，此方程对任意实数m都成立，则必有x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0.解得x＝9，y＝－4.∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4).[研一题][例3]求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．[自主解答]法一：由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2.即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝2－2＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.[悟一法]解决此类问题常有两种方法：一是常规法，即由题目已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐；二是利用直线系方程，过两条相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋B2y＋C2＝0，这种方法可以避免解方程组求交点．[通一类]3．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．解：法一：解方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得P(0,2)．因为l3的斜率为34，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－43，由斜截式可知l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，解得λ＝11，∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0构成三角形的条件．[解]法一：任两条直线都相交，则a1≠1a，a1≠11，故a≠±1.且三条直线不共点，故x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0，的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0⇔a2＋a－2≠0⇔(a＋2)(a－1)≠0，∴a≠－2且a≠1.综上所述，此三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．若l1、l2、l3交于一点，则l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y＋1＝0上，∴a(－a－1)＋1＋1＝0.∴a＝1或a＝－2.若l1∥l2，则有－1a＝－1，a＝1.若l1∥l3，则有－a＝－1，a＝1.若l2∥l3，则有－1a＝－a，a＝±1.∴l1、l2、l3构成三角形时a≠±1，a≠－2.