第二节 离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布从中任取3个球，取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率为引例这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.且311iiXP)(一、离散型随机变量的概率分布X设为随机变量，若他的全部可能取值只有有限或无穷可数个，则称其为离散型随定义：机变量。研究离散型随机变量概率分布，即寻找随机变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。1、离散型随机变量的定义分布函数可以研究离散型随机变量的概率分布，除此之外，针对离散型特点，我们引入研究离散型随机变量的重要工具——概率分布律（列）一、离散型随机变量的概率分布2、离散型随机变量的概率分布定义：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的分布律.概率分布列概率分布阵一、离散型随机变量的概率分布3、性质用这两条性质判断一个函数是否是分布律注意：只有离散型才有概率分布列。思考：下列两个等式一样么？()(),1,2,3kkkkPXxpPXxpk解:依据分布律的性质P(X=k)≥0,a≥0,从中解得即例1设随机变量X的分布律为k=0,1,2,…,试确定常数a.0kkke!一、离散型随机变量的概率分布例2某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取值为0,1,2P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81一、离散型随机变量的概率分布即一、离散型随机变量的概率分布例3设随机变量X的分布列为求：常数a，P(X1)，P(-2X≤0)，P(X≥2).解：由归一性+3+18++21,aaaa得18aP(X1)P(-2X≤0)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=5/8=P(X=-1)+P(X=0)=1/2P(X≥2)=P(X=2)=1/4一、离散型随机变量的概率分布小结：()iXx离散型随机变量的概率分布列，明确的给出了取正概率点的概率，是研究概率分布的重要工具。()(),iiaxbPaXbPbXax即：离散型随机变量落入任何区间内的概率，等于该区间内所有正概率点对应概率之和。练习1某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求射击发数X的分布律.解:X可能取的值是1,2,…，P{X=1}=P(A1)=p,为计算P{X=k}，k=1,2,…，Ak={第k发命中}，k=1,2,…，设于是一、离散型随机变量的概率分布分布律为二、离散型随机变量的分布函数随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落入任意区间的概率，那么分布函数与离散型分布列有什么关系呢？()()()kkkaxbkxxPaXbpFxPXxp对于分布列：对于分布函数：分布列分布函数()()(,]kFxxxx的值会随着区间上限的变化而改变，伴随区间的增大，区间包含的逐渐增多，概率也会变化。二、离散型随机变量的分布函数当x0时，{Xx}=，故F(x)=0例4设随机变量X的分布律为当0x1时，F(x)=P{Xx}=P(X=0)=F(x)=P(Xx)解0x12xxXXX求X的分布函数F(x).当1x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当x2时，F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1二、离散型随机变量的分布函数故特点：下面我们从图形上来看一下.1.分段函数2.右连续3.X取值点为分界点4.分段区间左闭右开二、离散型随机变量的分布函数31121202116OOO1)(xF的分布函数图x13二、离散型随机变量的分布函数特点：阶梯曲线在xk处有跳跃跳跃值为P{X=xk}=pkX二、离散型随机变量的分布函数总结：设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=即F(x)是X取的诸值xk的概率之和.则其分布函数为11121223110()1kikkinxxpxxxppxxxFxpxxxxx例5一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解,0时当x,}{是不可能事件xXP,20时当x.,}0{2是常数kkxxXP,1}20{XP由,14k得.41k即.4}0{2xxXP因而;0}{)(xXPxF于是二、离散型随机变量的分布函数于是}{)(xXPxF,2时当x故X的分布函数为.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF}0{XP}0{xXP.42x}{)(xXPxF.1其图形为一连续曲线二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数练习2设随机变量X的分布列为求：F(x).0,218,2112,10()58,0134,121,2xxxFxxxx答案：三、几种常见离散型随机变量的概率分布1、单点分布（或退化分布）若随机变量X的全部可能取值为常数c，即“X=c”是必然事件，其概率分布为P(X=c)=1则称X服从单点分布(或退化分布).例如，从一批全是合格品的产品中，任取c件进行合格性检查，若以X表示所取到的合格品数，则“X=c”是必然事件，其概率分布为P(X=c)=1.三、几种常见离散型随机变量的概率分布2、两点分布（或0-1分布、伯努利分布）设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0-1)分布或两点分布.Xkp0p11p(1,)XBp三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如200件产品中，有190件合格品,10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从两点分布.Xkp0120019020010两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.三、几种常见离散型随机变量的概率分布3、独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”设在一次试验E中只考虑两个互逆的结果：A或这样的试验E称为贝努利试验.（两点分布）将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验.“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响.三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如：某射手独立向目标连续射击4次，每次的命中率均为0.8，求其恰好命中3次的概率。分析：该实验为4重贝努利()0.8APA设表示命中目标，则3433143,,,[()]()0.80.2CAAAAAAAAAAAAAAAAPAPA在次射击中，恰好命中次共有种情况，即：由独立性可知，发生每种情况的概率均为:=(）每种情况彼此不能同时发生，则由互斥性质得：3314(3)0.80.2PC恰好命中次三、几种常见离散型随机变量的概率分布33144044(3)(3)()=0.80.20.80.2PPPCC至少命中次恰好命中次恰好命中4次由此可见，n重贝努利试验中，所研究的事件在多次试验中“恰好发生k次”的概率，对于研究试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。三、几种常见离散型随机变量的概率分布用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则,)0(时当nkkX.次次试验中发生了在即knA,knC种且两两互不相容.共有次的概率为次试验中发生在因此knA(1)kknknCpp（2）二项分布1101nnkknknknnXknpqCpqCpqp的分布律为得XkknknCpq}{kXP101,,,nkkknCppkn称这样的分布为二项分布，记为~(,).XBnp三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布描述的是n重贝努利试验中事件A出现的次数X的分布律.0()=(1)()=(1)nkknknkllkknknknPlCppPlCpp重贝努利试验中，至少发生次至多发生次例6已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为则X~B(3,0.05)，三、几种常见离散型随机变量的概率分布若将本例中的“有放回”改为“无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.注意：三、几种常见离散型随机变量的概率分布?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例7三、几种常见离散型随机变量的概率分布把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验，检查20只元件相当于做20重贝努利试验.解：,20只元件中一级品的只数记以X),2.0,20(~bX则因此所求概率为2020{}(0.2)(0.8),0,1,,20.kkkPXkCk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP三、几种常见离散型随机变量的概率分布注意：P(X=4)最大。三、几种常见离散型随机变量的概率分布一般地，若在k0处，概率P{X=k}达到最大（称k0为随机变量X的最可能值），则k0应满足0000{}1{1}{}1{1}PXkPXkPXkPXk解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p。因为k0必须为整数，所以0(1)(1)1,[(1)],npnpknp和当(n+1)p为整数，其它，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布与两点分布的关系二项分布1n两点分布1、2、121(,)(1,)(1,2,,).ininiXBnpXBpinXXXXX若，，，则三、几种常见离散型随机变量的概率分布5(2,),(3,)(1)9(1).3XBpYBpPXPY练设，，求习且00225(1)1(0)1(1)9PXPXCpp解：，13p得，003319(1)1(0)1(1).27PYPYCpp三、几种常见离散型随机变量的概率分布练习4某人进行射击，设每次击中的概率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率是多少？解：这是一个独立重复试验概型，设击中的次数为X，则它服从参数为n=400，p=0.02的二项分布，即X～B(400，0.02)，其概率分布为400400{}(0.02)(0.98)(0,1,2,,400)kkkPXkCk4004004002{2}(0.02)(0.98)kkkkPXC1[(0)(1)]PXPX4003991[(0.98)4000.02(0.98)]三、几种常见离散型随机变量的概率分布4、泊松分布泊松分布是1837年法国数学家泊松（Poisson）作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显示其重要性，即它不仅是二项