2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第22讲 正弦定理和余弦定理(含解析)

第22讲正弦定理和余弦定理考试说明1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.考情分析考点考查方向考例考查热度利用正弦定理、余弦定理解三角形直接使用定理解三角形2017全国卷Ⅰ11,2017全国卷Ⅱ16,2016全国卷Ⅱ13,2016全国卷Ⅲ8,2013全国卷Ⅰ17★★☆与三角形面积有关的问题求三角形面积、已知面积求三角形元素2017全国卷Ⅱ17,2017全国卷Ⅰ17,2017全国卷Ⅲ17,2016全国卷Ⅰ17,2015全国卷Ⅱ17,2014全国卷Ⅱ4★★★三角形中范围和最值问题角的三角函数以及面积的最值和范围2015全国卷Ⅰ16,2014全国卷Ⅰ16,2013全国卷Ⅱ17★★★真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.[解析]B因为sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=(sinA+cosA)sinC=0,所以sinA=-cosA,得A=π.又由正弦定理=,得=,解得sinC=,所以C=.2.[2016·全国卷Ⅲ]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.-D.-[解析]C如图3-22-1所示,作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则AD=BD=1,AB=,AC=.由余弦定理得32=()2+()2-2×××cosA,解得cosA=-.3.[2014·全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1[解析]B根据三角形面积公式,得BA·BC·sinB=,即×1××sinB=,得sinB=,其中CA.若B为锐角,则B=,所以AC==1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,所以B为钝角,即B=,所以AC==.4.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.[答案][解析]因为2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理有2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,得B=.5.[2016·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.[答案][解析]∵cosA=,cosC=,且A,C为三角形的内角,∴sinA=,sinC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.由正弦定理得=,解得b=.6.[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.[答案](-,+)[解析]如图3-22-2所示.MBABEB,在△BMC中,CB=CM=2,∠BCM=30°,由余弦定理知MB2=22+22-2×2×2cos30°=8-4=(-)2,所以MB=-.在△EBC中,设EB=x,由余弦定理知4=x2+x2-2×x×xcos30°,得x2=8+4=(+)2,所以x=+,即EB=+,所以-AB+.7.[2014·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.[答案][解析]根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cosA==,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.8.[2017·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解:(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB),上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4,所以b=2.9.[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解:(1)由题设得acsinB=,即csinB=,由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.10.[2017·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.11.[2016·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解:(1)由已知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC,可得cosC=,所以C=.(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,所以△ABC的周长为5+.12.[2015·全国卷Ⅱ]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解:(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.13.[2013·全国卷Ⅰ]如图3-22-3所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解:(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cosα=4sinα.所以tanα=,即tan∠PBA=.14.[2013·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.解:(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=.(2)△ABC的面积S=acsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+1.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A[解析]A由sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC得sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,所以2sinBcosC=sinAcosC.因为△ABC为锐角三角形,所以cosC0,所以2sinB=sinA,再根据正弦定理得2b=a,故选A.2.[2017·北京卷]在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解:(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sinC==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×=6.3.[2017·山东卷]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.解:因为·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0Aπ,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.4.[2017·天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解:(1)由asinA=4bsinB及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cosA===-.(2)由(1)可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB==.由(1)知,A为钝角,所以cosB==.于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×-×=-.【课前双基巩固】知识聚焦1.b2+c2-2bccosAc2+a2-2accosBa2+b2-2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.一解两解一解一解对点演练1.[解析]易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=,得=,解得b=.2.[解析]由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=52+(2)2-2×5×2cos30°=7,所以c=.3.60°[解析]因为cosC==,所以C=60°.4.4[解析]因为sinC==,所以△ABC的面积S=absinC=4.5.A=BAB[解析]根据正弦定理知,在△ABC中有sinA=sinB⇔a=b⇔A=B,sinAsinB⇔ab⇔AB.6.45°[解析]由正弦定理知=,则sinB===.又ab,则AB,所以B为锐角,故B=45°.7.[解析]易知c==,△ABC的面积等于×2×3×=.8.直角三角形或等腰三角形[解析]由已知有cosC(sinA-sinB)=0,所以有cosC=0或sinA=sinB,解得C=90°,或A=B.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cosB-1)s