高中数学必修4公开课课件1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）1.理解函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期，并会求简单函数的周期.(重点）思考：如何画出正弦曲线、余弦曲线的图象？yxo1-122322y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]五点作图法正弦线法-1x01π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxyxy01-1222222222222y=cosx探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质吗？性质1：正弦函数、余弦函数的定义域均为_____；R性质2：正弦函数、余弦函数的值域均为_________；1,1性质3：正弦函数、余弦函数都具有周期性.观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现.sinx2ksinx,kZ诱导公式其理论依据是什么？-1x01π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxy2当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.()fxf(xT)f(x)()fxx思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可以是哪些？答：周期函数的周期不止一个.例如，2,4,6…以及…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个常数都是它的周期.2k(kk0)Z且-2,-4,-6最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.()fx()fx思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？如果没有，请说明理由.答：正弦函数存在最小正周期，是.2思考：通过以上的探究，你能得到正弦函数在周期性方面的什么结论？余弦函数呢？结论：正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.2k(kk0)且Z2余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是.2k(kk0)且Z2例1.求下列函数的周期：(1)y3cosx,x;(2)ysin2x,x;1(3)y2sin(x),x.26RRR解：（1）因为，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.3cos(x2)3cosx2（2）因为，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.sin2(x)sin(2x2)sin2x记住正弦、余弦函数的周期（3）因为，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.4112sinx42sin(x)2262612sin(x)26思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？2πT|自变量的系数|一般地，函数（其中）的最小正周期.yAsin(x),xR02T例2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？解：由已知有：f(x＋2)=-f(x),∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x),∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x),=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=1.等式是否成立？如果这个等式成立，能否说是正弦函数的一个周期？为什么？sin30120sin30120ysinx,xR答：等式成立.但是不是正弦函数的一个周期，因为对于任意的，不是都成立.120sin120sinxxxR2.求下列函数的周期：3(1)ysinx,xR;4(2)ycos4x,xR;1(3)ycosx,xR;21(4)ysin(x),xR.34解:33381sinxsin(x2)sin(x),4443（）所以原函数的周期为.831(2)cos4xcos(4x2)cos4(x),2所以原函数的周期为.1211(3)cosxcos(x2),22所以原函数的周期为.211(4)sin(x)sin(x2)3434所以原函数的周期为.61sinx634，1.周期函数、最小正周期.2.正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期，最小正周期是.2k(kk0)Z且2把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书。——麦考莱