平面向量数量积习题课

平面向量数量积习题课基本知识回顾1，平面向量数量积的定义2，数量积的几何意义3，数量积的性质4，数量积的运算律5，数量积的坐标表示数量积的综合应用类型一：向量的模例1：已知向量与的夹角为，且ab1202,4ba求：（1）（2）（3）ab34ab2ababba)1(2)(ba222bbaa22120cos2bbaa1232ba43)2(2)43(ba2216249bbaa304194)2()()3(baba222bbaa222120cosbbaa12总结：求向量长度的方法,即一个向量的长度为它与自身数量积的算术平方根.即2aa3.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，，则求的最大值.abc0)()(cbcac2.已知向量满足求.ba,,24,19,13bababa1.已知向量|a|=,a·b=10,|a+b|=5,求|b|..变式题（09高考）:设是单位向量，且则的最小值.cba,,0ba)()(cbca数量积的综合应用类型二：向量的垂直问题若要证明某两个非零向量垂直,只需判断它们的数量积是否为零;两个非零向量的数量积为零,则它们互相垂直.,164,932222ba0222bka43k.01692k)(kba解：已知与互相垂直的充要条件是即kbakba0)(kba也就是说，当且仅当时，与互相垂直.43kkbakba已知.4||,3||ba(a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量bka与bka垂直用数量积解决垂直问题【例3】设平面内两向量a与b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又k与t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求函数k=f(t)的最小值.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又x⊥y,∴x·y=0,即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).(2)由(1)知,k=(t2-3t)=(t-)2-,即函数k=f(t)的最小值为-.A1.(2010年高考北京卷)若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是()(A)一次函数且是奇函数(B)一次函数但不是奇函数(C)二次函数且是偶函数(D)二次函数但不是偶函数2.(2010年高考浙江卷)已知平面向量α、β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是10数量积的综合应用类型三：向量的夹角问题用数量积解决夹角问题【例4】已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.思路点拨:利用夹角公式cosθ=计算或根据向量加减法的几何意义求解.解:法一:∵|a|=|a-b|,∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2,又|a|=|b|,∴a·b=|a|2,又|a+b|===|a|.设a与a+b的夹角为θ,则cosθ====,又θ∈[0,π],∴θ=,即a与a+b的夹角为.法二:如图所示.令=a,=b,以,为邻边作▱AOBC,则=a+b,=a-b,∵|a|=|b|,∴||=||,故▱AOBC为菱形,∴OC平分∠AOB,由于|a|=|b|=|a-b|,即||=||=||,∴△AOB为正三角形,则∠AOB=,故∠AOC=,即a与a+b的夹角为.求两向量夹角的方法主要是应用公式cosθ=来解决,为此应求出a·b与|a||b|的大小,或在a·b已知的情况下直接代入运算.变式训练41:向量a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求a与b的夹角.解:设a,b的夹角为θ,∵(a-b)·(2a+b)=2a2+a·b-2a·b-b2=2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=8-8cosθ-16=-8cosθ-8=-4.∴cosθ=-,又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.数量积的综合应用综合题型D1.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a·b+b·c+c·a的值为()(A)7(B)(C)-7(D)-272721.变式题：（1）求与的夹角.（2）是否存在实数使与共线.（3）是否存在实数使与垂直.abbaba2baba243arccos)1(21)2(819)3(ABC2.在中，若，且.则的形状为cABbCAaBC,,accbbaABCABC2.变式题：为所在平面内任意一点，且满足.则的形状为O0)2()(OAOCOBOCOBABC等边三角形等腰三角形3.设两个向量e1、e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.).21,-214(-∪)214(-7,-4.点O是△ABC所在平面上一点,且满足则点O是△ABC的()(A)重心(B)垂心(C)内心(D)外心,OCOAOCOBOBOAB