2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第6讲函数与方程

考纲要求考纲研读1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性定理，可用来求参数的取值范围.第6讲函数与方程1．函数的零点实根交点f(a)·f(b)0(1)方程f(x)＝0有_____⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有_____⇔函数y＝f(x)有零点；(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有__________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．一般把这一结论称为零点存在性定理．2．二分法f(m)·f(n)0二分法如果函数y＝f(x)在区间[m，n]上的图象是一条连续不断的曲线，且___________，通过不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________．1．图3－6－1是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)在区间()上的零点．()B图3－6－1A．[－2.1，－1]C．[4.1,5]B．[1.9,2.3]D．[5,6.1]3．lgx－—＝0有解的区域是(2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()AA．(0,0.5)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,1)，f(0.25)D．(0,0.5)，f(0.125)1x)BA．(0,1]C．(10,100]B．(1,10]D．(100，＋∞)4．(2010年天津)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()CA．(－2，－1)C．(0,1)B．(－1,0)D．(1,2)5．关于x的一元二次方程5x2－ax－1＝0有两个不同的实根，一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数a的取值范围为________.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…xy＝21.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…2y＝x0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…考点1判断函数零点所在的区间例1：①利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间()A．(0.6,1.0)C．(1.8,2.2)B．(1.4,1.8)D．(2.6,3.0)解题思路：判断函数f(x)＝2x－x2在各个区间两端点的符号．解析：①由f(0.6)＝1.516－0.360，f(1.0)＝2.0－1.00，排除A；由f(1.4)＝2.639－1.960，f(1.8)＝3.482－3.240，排除B；由f(1.8)＝3.482－3.240，f(2.2)＝4.595－4.840，可确定方程2x＝x2的一个根位于区间(1.8,2.2)上．答案：C的零点所在的区间为()C②(2011年新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析：因为f14＝e14－20，f12＝e12－10，所以f14·f120.又因为函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数，所以函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数．所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在14，12内．判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下三种方法：①当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；②利用函数零点的存在性定理进行判断；③通过函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【互动探究】21．(2011年山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝____.解析：f(2)＝loga2＋2－b0，f(3)＝loga3＋3－b0，∴x0∈(2,3)．故所求的n＝2.考点2二分法的应用例2：已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.(1)证明函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2.∴lnx1＋2x1－6lnx2＋2x2－6.∴f(x1)f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln30，∴f(2)·f(3)0.∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点．又由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)＝0至多有一个根，从而函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．(3)由(2)知f(x)的零点x0在(2,3)上，取x1＝52，∵f52＝ln52－10，∴f52·f(3)0.∴x0∈52，3.取x1＝114，∵f114＝ln114－120，∴f52·f1140.∴x0∈52，114.而114－52＝14≤14，∴52，114即为符合条件的区间．给定精度ε，用二分法求函数y＝f(x)的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[m，n]，验证f(m)·f(n)0，给定精度ε；(2)求区间[m，n]的中点x1；(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数y＝f(x)的零点；②若f(m)f(x1)0，则令n＝x1[此时零点x0∈(m，x1)]；③若f(x1)f(n)0，则令m＝x1[此时零点x0∈(x1，n)]．【互动探究】2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．[2,2.5]解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－10，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝2.5×(2.52－22)0，故下一个有解区间为[2,2.5]．考点3利用导数讨论方程的根的分布例3：(2011年天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中t∈R.(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；(3)证明：对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．解析：(1)当t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6.所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.(2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝t2.因为t≠0，所以要分为t0和t0讨论．(1)若t0，则t2－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，t2t2，－t(－t，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)单调递增单调递减单调递增所以f(x)的单调增区间是－∞，t2和(－t，＋∞)，单调减区间是t2，－t.(2)若t0，则－tt2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－t)－t，t2t2，＋∞f′(x)＋－＋f(x)单调递增单调递减单调递增所以f(x)的单调增区间是(－∞，－t)和t2，＋∞，单调减区间是－t，t2.(3)由(2)可知，当t0时，f(x)在0，t2内单调递减，在t2，＋∞内单调递增．需要讨论t2与讨论的区间(0,1)的相互位置关系．①当t2≥1，即t≥2时，f(x)在(0,1)内单调递减，因为f(0)＝t－10，f(1)＝－6t2＋4t＋3≤－6×4＋4×2＋30，所以对任意t∈[2，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．②当0t21，即0t2时，f(x)在0，t2内单调递减，在t2，1内单调递增．若t∈(0,1]，ft2＝－74t3＋t－10，f(1)＝－6t2＋4t＋3≥－6t＋4t＋3＝－2t＋30.所以对任意t∈(0,1]，f(x)在区间t2，1内存在零点．若t∈(1,2)，ft2＝－74t3＋t－1－74t3＋10，f(0)＝t－10.所以对任意t∈(1,2]，f(x)在区间0，t2内存在零点．所以对任意t∈(0,2)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．综合以上，对任意t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0,1)内存在零点．【互动探究】3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()AA．(－2,2)C．(－∞，－1)B．[－2,2]D．(1，＋∞)思想与方法5．运用函数与方程思想判断方程根的分布例题：已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；一个公共点，求实数a的取值范围．(2)设g(x)＝log4a·2x－43a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有解析：(1)由f(x)是偶函数，得f(x)＝log4(4x＋1)＋kx，f(－x)＝log44x＋14x－kx，又f(x)＝f(－x)，解得k＝－12.(2)f(x)＝log4(4x＋1)－12x，x∈R.又f(x)＝g(x)，则4x＋1＝2x2x－43a，a2x－430.所以(a－1)22x－4a32x－1＝0.记2x＝t(t0)，方程h(t)＝(a－1)t2－4a3t－1＝0有且只有一个正根．①当a＝1时，h(t)＝－43t－1＝0无正实根；②当a≠1时，Δ＝169a2＋4(a－1)＝0，解得a＝34或a＝－3.而当a＝34时，t＝－20；当a＝－3时，t＝120.当Δ＝169a2＋4(a－1)0，即a34或a－3时，方程有两根，依题设有t1t2＝－1a－10，解得a1.综上所述，当a∈{－3}∪(1，＋∞)时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点．将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保证转化的等价性；解决一元二次方程的实根分布问题时一定要结合图象，从各个方面考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．与二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论：(1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小⇔a·f(r)＜0.(2)方程f(x)＝0的两根都大于r⇔Δ＝b2－4ac≥0，－b2ar，a·fr0.(3)方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根(4)方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)＜0，或f(p)＝0，另一根在(p，q)内，或f(q)＝0，另一根在(p，q)内．(5)方程f(x)＝0的两根x1，x2中，p＜x1＜q＜x2(p＜q)⇔f(p)·f(q)＜0.⇔Δ＝b2－4ac≥0，p－b2aq，a·fp0，a·fq0.1．函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根．2．使用根的存在性定理要注意以下三点：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续；②满足f(a)·f(b)0；(3)该定理只能求变号零点，对非变号零点则不适用