一轮复习课件--平面向量

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算第二节平面向量基本定理及坐标表示第三节平面向量的数量积及平面向量的应用第四节数系的扩充与复数的引入专家讲坛[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．主要考查平面向量的有关概念及对线性运算、共线向量定理的理解和应用，如2012年高考T9.[归纳知识整合]1．向量的有关概念名称定义向量既有又有的量叫做向量，向量的大小也就是向量的(或称)零向量的向量叫做零向量，其方向是的，零向量记作___单位向量长度等于个单位的向量平行向量方向相同或的向量叫做平行向量，平行向量又叫向量．规定：与任一向量_____相等向量长度且方向的向量相反向量长度且方向的向量大小方向长度模长度为0任意1相反非零共线平行相等相同相等相反00[探究]1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝(2)结合律：(a＋b)＋c＝减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______(2)当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝__λ(μa)＝______(λ＋μ)a＝_________λ(a＋b)＝_________相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|[探究]3.λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．若|a＋b|＝|a－b|，你能给出以a，b为邻边的平行四边形的形状吗？提示：如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形．3．共线向量定理如果有一个实数λ，使，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使.b＝λa(a≠0)b＝λa[探究]5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．[自测牛刀小试]1．下列说法中正确的是________(填序号)．①只有方向相同或相反的向量是平行向量②零向量的长度为零③长度相等的两个向量是相等向量④共线向量是在一条直线上的向量解析：由于零向量与任意向量平行，故①错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故③错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故④错误．答案：②2.(教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于＝________(用BC和BA表示)．解析：如图，由于D是AB的中点，所以CD＝CB＋BD＝CB＋12BA＝－BC＋12BA.答案：－BC＋12BA3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为________(用e1，e2表示)．解析：连结a，b的终点，并指向a的终点的向量是a－b，故应为e1－3e2.答案：e1－3e24．(教材习题改编)点C在线段AB上，且ACCB＝52，则AC＝________AB，BC＝________AB.解析：如图，∵ACCB＝52，∴AC＝57AB，BC＝－27AB.答案：57－275．(教材习题改编)化简OP－QP＋MS－MQ的结果为______．解析：OP－QP＋MS－MQ＝(OP＋PQ)＋(MS－MQ)＝OQ＋QS＝OS.答案：OS向量的概念[例1]给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．[自主解答]①不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a＝－b时，也有|a|＝|b|且a∥b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．未考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.[答案]②③———————————————————————————————————————————解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是______.解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案：3向量的线性运算[例2]在△ABC中，(1)若D是AB边上一点，且AD＝2DB，CD＝13CA＋λCB，则λ＝_________.(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么那么OA与OD的关系是________．[答案](1)23(2)OA＝OD[自主解答](1)法一：由AD＝2DB得CD－CA＝2(CB－CD)，即CD＝13CA＋23CB，所以λ＝23.法二：因为CD＝CA＋AD＝CA＋23AB＝CA＋23(CB－CA)＝13CA＋23CB，所以λ＝23.(2)因为D是BC边的中点，所以有OB＋OC＝2OD，所以2OA＋OB＋OC＝2OA＋2OD＝2(OA＋OD)＝0⇒OA＋OD＝0⇒AO＝OD.在本例条件下，若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|为何值？解：∵|AB|＝|AC|＝|AB－AC|，∴△ABC为正三角形．∴|AB＋AC|＝23.—————————————————平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．2．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.解：OC＝OB＋BC＝OB＋2BA＝OB＋2(OA－OB)＝2OA－OB＝2a－b.DC＝OC－OD＝OC－23OB＝(2a－b)－23b＝2a－53b.共线向量定理的应用[例3]设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[自主解答](1)∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)，＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB、BD共线．又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.———————————————————————————————————————————1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC，则A、B、C三点共线．3．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有t－3＋3k＝0，t－2k＝0，解之得t＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．1个规律——向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即12AA＋23AA＋34AA＋…＋1nnAA＝1nAA.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2个结论——向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12(OA＋OB)．(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，PG＝13(PA＋PB＋PC)⇔G是△ABC的重心，特别地，PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的重心．3个等价转化——与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(3)在向量共线的重要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系.创新交汇——以平面向量为背景的新定义问题1．从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点．2．解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在．[典例](2011·山东高考)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA＝λ12AA(λ∈R)，14AA＝μ12AA(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2·已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是________(填序号)．A．C可能是线段AB的中点；B．D可能是线段AB的中点；C．C，D可能同时在线段AB上；D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上.[解析]根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1