诱导公式五、六

新知探究题型探究感悟提升【课标要求】1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式五、六．2．掌握五组诱导公式并灵活运用．【核心扫描】1．诱导公式五、六的推导．(重点)2．灵活运用诱导公式进行化简、求值与证明．(难点)3．公式记忆．(易混点)第2课时诱导公式五、六新知探究题型探究感悟提升温馨提示：利用公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．新知导学1．诱导公式五、六新知探究题型探究感悟提升温馨提示：判断函数值的符号时，虽然把α看成锐角，但实际上α可以为任意角．2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．余弦(正弦)新知探究题型探究感悟提升互动探究探究点1你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？提示诱导公式六的推导：∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得：sinπ2＋α＝sinπ2－－α＝cos(－α)＝cosα，cosπ2＋α＝cosπ2－－α＝sin(－α)＝－sinα.即sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα.新知探究题型探究感悟提升探究点2tanπ2＋α与tanα有何关系？提示∵tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝－1sinαcosα＝－1tanα，∴tanπ2＋α＝－1tanα.新知探究题型探究感悟提升[思路探索]利用互余、互补的角的诱导公式解题．类型一利用诱导公式求值【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cosπ2＋α的值．(2)已知cosπ6－α＝13，求cos5π6＋α·sin2π3－α的值．新知探究题型探究感悟提升解(1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，又α为第一象限角．则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.(2)cos5π6＋α·sin2π3－α＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α＝－cosπ6－α·sinπ3＋α＝－13sinπ2－π6－α＝－13cosπ6－α＝－19.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．新知探究题型探究感悟提升【活学活用1】已知sinπ6＋α＝33，求cosπ3－α的值．解∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α＝sinπ6＋α＝33.新知探究题型探究感悟提升类型二利用诱导公式证明恒等式【例2】求证：tan2π－αcos3π2－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.[思路探索]解答本题可直接把左式利用诱导公式对式子进行化简推出右边．证明左边＝tan－α·－sinα·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α＝－tanα·－sinα·cosαsin－π2－αcos－π2－α新知探究题型探究感悟提升[规律方法]利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝sin2α－cosα·sinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．∴原等式成立．新知探究题型探究感悟提升【活学活用2】求证：2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2π＋θ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.证明左边＝－2sin3π2－θ·－sinθ－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ新知探究题型探究感悟提升＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ.右边＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1＝tanθ＋1tanθ－1＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ.∴左边＝右边，故原式成立．新知探究题型探究感悟提升[思路探索]本题充分利用诱导公式进行化简求值．类型三诱导公式的综合应用【例3】已知f(α)＝sinα－3πcos2π－αsin－α＋3π2cos－π－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．新知探究题型探究感悟提升解(1)f(α)＝－sinα·cosα·－cosα－cosαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα，∴sinα＝－15，又α是第三象限的角，∴cosα＝－1－－152＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．【活学活用3】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．解方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，由α是第三象限角，得sinα＝－35，则cosα＝－45，新知探究题型探究感悟提升∴sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝sinπ2－α·cosπ2＋αsinα·cosα·tan2α＝cosα·－sinαsinα·cosα·tan2α＝－tan2α＝－sin2αcos2α＝－916.新知探究题型探究感悟提升易错辨析对角的终边位置考虑不全面而出错【示例】若|cosα|＝sin3π2－α，请指出角α的终边的位置．[错解]由|cosα|＝sin3π2－α得，|cosα|＝－cosα，所以cosα≤0.故角α的终边在第二或第三象限．[错因分析]由cosα≤0可知，角α的终边也可以在坐标轴上．[正解]由|cosα|＝sin3π2－α得，|cosα|＝－cosα，所以cosα≤0.故角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上或y轴上．新知探究题型探究感悟提升[防范措施]角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．新知探究题型探究感悟提升解析根据诱导公式，知sin(180°－α)＝sinα，cos(180°＋α)＝－cosα，cos(90°＋α)＝－sinα，tan(－α)＝－tanα，所以C项错误．故选C.答案C课堂达标1．下列各式中，不正确的是()．A．sin(180°－α)＝sinαB．cos(180°＋α)＝－cosαC．cos(90°＋α)＝sinαD．tan(－α)＝－tanα新知探究题型探究感悟提升答案D2．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于()．A.223B．－233C.13D．－13解析cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4＝－sinα－π4＝－13.新知探究题型探究感悟提升3．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.解析原式＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋…＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…＋222＝44＋12＝892.答案892新知探究题型探究感悟提升4．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝______.解析∵tan(3π＋α)＝2，∴tanα＝2.原式＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.答案2新知探究题型探究感悟提升5．求证：cos5π2＋xsinx－5π2tan6π－x＝－1.证明∵cos5π2＋xsinx－5π2tan6π－x＝cos2π＋π2＋xsinx－π2－2πtan－x新知探究题型探究感悟提升＝cosπ2＋x－sinx－π2tanx＝－sinxcosxtanx＝－1＝右边．∴原式成立．新知探究题型探究感悟提升课堂小结学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号”，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限.