高中数学配套课件：第1部分 第四章 4.2 4.2.2&4.2.3 圆与圆的位置关系 直线

第四章4.24.2.2&4.2.3理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三考点四返回返回返回返回观察下面生活中常见的一些图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？返回问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、相离．问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．返回1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为、、、、．2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：相离外切相交内切内含返回位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|返回(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F10)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F20)，联立方程得x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，返回则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数两圆的位置关系2个相交1个内切或外切0个外离或内含返回几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．返回返回返回[例1]已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1、C2(1)相切；(2)相交；(3)相离．[思路点拨]求圆心距|C1C2|，与半径|r1－r2|，r1＋r2的关系可判断．返回[精解详析]对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，∴|C1C2|＝a－2a2＋1－12＝a，(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．返回[一点通](1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．返回1．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切返回解析：把方程x2＋y2－8x＋6y＋9＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16，则两圆连心线的长为4－02＋－3－02＝5，而4－354＋3，故两圆相交．答案：B返回2．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，2和(0，b)，1，因为两圆相离，所以a2＋b22＋1，即a2＋b23＋22.答案：a2＋b23＋22返回3．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：由x2＋y2＋6x－8y－11＝0，得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝－32＋42＝5，当两圆有公共点时，它们只能是内切、外切或相交，因此圆心距d应满足|r2－r1|≤d≤r1＋r2，即|m－6|≤5≤m＋6，从而1≤m≤11，即1≤m≤121.答案：[1,121]返回返回[例2]求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[思路点拨]结合题意以及两圆外切、圆与直线相切的条件，利用待定系数法，列方程组求解．返回[精解详析]圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题意可知a－12＋b2＝r＋1，b＋3a－3×－33＝－1，|a＋3b|2＝r，解得a＝4，b＝0，r＝2.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.返回[一点通]本题利用待定系数法，设出圆的标准方程，根据圆与直线、圆与圆相切的条件列出关于a，b，r的方程组求解．其中圆与圆相切转化为圆心距；圆与线相切转化为点线距．返回4．圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定返回解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m＋12＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案：C返回5．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36返回解析：∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由a2＋32＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.答案：D返回返回[例3]求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．[思路点拨]本题解法较多，可利用定义求圆心与半径，也可设a、b、r，还可利用圆系方程．返回[精解详析]]法一：设两圆的交点分别为A，B，由x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0，得y＝x.由y＝x，x2＋y2－4y－6＝0，解得x1＝－1，y1＝－1x2＝3，y2＝3，∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、B(3,3)．返回线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由y－1＝－x－1，x－y－4＝0，得x＝3，y＝－1，∴所求圆的圆心为(3，－1)，半径为3－32＋3＋12＝4.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.返回法二：同解法一求得A(－1，－1)、B(3,3)．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则a－b－4＝0，－1－a2＋－1－b2＝r2，3－a2＋3－b2＝r2，解得a＝3，b＝－1，r2＝16，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.返回法三：设经过已知两圆的交点的圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，则其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x－y－4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13，返回∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－6－13(x2＋y2－4y－6)＝0，即x2＋y2－6x＋2y－6＝0.返回[一点通](1)圆系方程：一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交，只要使x2、y2的系数对应相等，两圆方程作差就得到公共弦所在的直线方程．返回6．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．返回解：由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解，因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程．∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3，返回∴圆心C1到直线AB的距离d＝│－3－12＋6│25＝95，∴│AB│＝2r2－d2＝29－952＝245.∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为245.返回返回[例4](12分)有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨]建系后，利用居民选择在A地购买商品建立不等关系后化简作出判断．返回[精解详析]以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/km，则从B运货到P地运费为a元/km.(3分)返回若P地居民选择在A地购买此商品，则2ax＋52＋y2＜ax－52＋y2，(5分)整理得(x＋253)2＋y2＜(203)2分)即点P在圆C：(x＋253)2＋y2＝(203)2的内部．(9分)也就是说，圆C内的居民应在A地购物．(10分)同理可推得圆C外的居民应在B地购物．(11分)圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．(12分)返回[一点通]实际应用问题关键在于根据实际问题建立数学模型进行分析．返回7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受到影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？返回解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为返回x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∵dr，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．返回1．判断两圆的位置关系通常用几何法判断，即利用圆的方程及两点间的距离公式求出圆心距d和两圆的半径r1和r2，再根据d与r1＋r2、|r1－r2|的大小关系来判断．2．求两圆公切线条数时应先判断两圆的位置关系；求两圆的公共弦长时可转化为直线与圆相交求相交弦长问题．返回3．直线与圆的方程在实际生活以及平面几何的应用，通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题．返回(2)通过代数运算，解决代数问题．(3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．4．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解．返回